Уравнения смешанного типа и задачи граничного управления

Изучен процесс управления колебаниями струны с помощью смещения на одном конце струны при условии торможения (ускорения) на другом конце струны. Найдено в явном аналитическом виде оптимальное управление струной. Доказаны существование и единственность в пространстве Соболева решения начально-краевой задачи для волнового уравнения, когда на одном конце задана наклонная производная, а на другом конце - первое краевое условие.Рассмотрена задача Франкля для уравнения элиптико-гиперболического типа. Найдена биортогональная система функций. Доказано, что эти системы образуют базис Рисса в L2. Исследована разрешимость задачи Франкля для уравнения Лаврентьева - Бицадзе в трехмерной области. Регулярное решение найдено в виде равномерного и абсолютно сходящегося ряда. Рассмотрены вопросы существования и единственности специальных краевых задач, к которым сводятся задачи теории упругости с адгезионными взаимодействиями. Показано, что к такого рода проблемам приводят и модель Лапласа - Янга, и более полная модель адгезии. Изучены вопросы разрешимости и единственности решения для уравнения Лапласа на полуплоскости. Доказана равномерная сходимость спектральных разложений одной задачи для оператора Лапласа на квадрате со спектральным параметром в граничном условии. Изучена разрешимость задач Трикоми, Геллерстедта, Франкля в трехмерном цилиндре для уравнения Лаврентьева - Бицадзе. Доказана однозначная разрешимость этих задач, решение выписано в виде функциональных рядов по биортогональной системе. Основная трудность состоит в обосновании равномерной сходимости этих рядов, в оценке скорости убывания коэффициентов Фурье.Рассмотрена смешанная краевая задача для одномерного волнового уравнения. В начальный момент времени задано условие Коши на левой части границы задано локальное краевое условие, а на правой части границы задано нелокальное интегральное краевое условие связывающее значение искомого решения с внутренними точками области. Найдено классическое решение, т.е. оно имеет все непрерывные производные, которые входят в уравнения вплоть до границы области. Решение выписано в аналитическом виде. Решена спектральная задача с краевым условием второго вида, комплекснозначным коэффициентом и спектральным параметром в другом краевом условии