Итоговый отчет по теме "Нелокальные дифференциальные уравнения смешанного типа и их применение к динамическим системам" (2013-2015 гг.)

Цель: доказательство существования и единственности решений локальных и нелокальных задач со смещением для нагруженных уравнений основных и смешанных типов, их анализ и применение к моделированию фрактальных динамических систем. Исследован аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа, относящегося к классу уравнений, предложенных Поритским, в смешанной области, гиперболическая часть границы которой состоит из характеристик разных семейств. Предложен метод организации вычислительного процесса решения краевых задач для важных в математической физике и биологии дифференциальных уравнений 2-го порядка основных типов. Установлено, что фундаментальное решение нагруженного дифференциального уравнения фрактальной диффузии можно эффективно использовать для определения обобщенного фрактального броуновского движения. Разработаны различные обобщения закона Бугера - Ламберта - Бера и алгоритмы расчета распределения концентрации поглощающих молекул по трассе лазерного излучения в случае, когда поглощающий слой является средой с фрактальной геометрией. Проведен анализ фрактального параметрического осциллятора с трением. С помощью диаграмм Стретта - Айнса определены границы неустойчивости, в которой возможен эффект параметрического резонанса. Предложена принципиально новая математическая модель колебаний Эйри с учетом эредитарности. Исследованы фрактальные дифференциальные уравнения математических моделей катастрофических ситуаций, качественные свойства фрактальных осцилляторов и моделирующих их уравнений, описывающих ударно-волновые явления и системы фрактальной организации, совершающие колебания около положения устойчивого равновесия. Выявлены необходимые и достаточные условия разрешимости двух краевых задач для линеаризованного уравнения Буссинеска смешанного типа с разрывным по времени коэффициентом диффузии. Для линейного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа исследована задача начально-граничного управления в смешанной области, параболическая часть которой совпадает с полуполосой, и получены необходимое и достаточное условия существования управления, переводящего начальное состояние системы в наперед заданное финальное состояние. Для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа изучена нелокальная внутренне-краевая задача с условием типа Бицадзе - Самарского в параболической части и задача, где часть характеристики освобождена от краевого условия, и это недостающее условие Трикоми заменено нелокальным условием со смещением А.М. Нахушева. Исследован аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с дробной производной при нагрузке. Доказан принцип экстремума для нагруженных интегрального уравнения и дифференциального уравнения 1-го порядка. Рассмотрены модели нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с характеристическим и нехарактеристическим изменениями, смешанная краевая задача для уравнения плоской волны в прямоугольной области. Для предложенных в качестве моделей уравнений смешанного типа исследованы краевые задачи, выписаны решения задач в явном виде. Доказаны теоремы существования и единственности регулярного решения аналога задачи Трикоми для уравнений параболо-гиперболического типа 3-го порядка с операторами Геллерстедта и Бицадзе - Лыкова в области гиперболичности. В стандартной смешанной области изучены локальная и нелокальная краевые задачи; решения задач выписаны в явном виде. Построено решение нелокальной краевой задачи с интегральным условием для уравнения дробной диффузии в полуполосе. Доказаны существование и единственность решения аналога задачи А.А. Дезина для уравнения параболо-гиперболического типа 2-го порядка в области, гиперболическая часть которой состоит из конечного числа квадратов. Рассмотрены нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения с оператором Барретта в главной части и уравнения влагопереноса, доказаны существование и единственность решения задач. Исследованы локальные и нелокальные краевые задачи для вырождающихся и нагруженных уравнений в частных производных, лежащие в основе динамических систем с распределенными параметрами.