Новый метод решения задач математической физики в областях с сингулярными возмущениями

Разработаны методы, позволяющие получить явные решения краевых задач математической физики для широкого класса уравнений (эллептических, гиперболических и параболических) в областях с пленочными структурами. Разработан новый метод решения краевых задач в областях с многослойными пленочными границами, позволяющий выводить формулы, выражающие решения задач с пленками через решение аналогичных классических задач без пленок при сохранении уравнения и граничных функций. При этом если известно решение некоторой классической задачи без пленок, то по выведенным формулам получаем решения серии аналогичных задач с различными пленками. Вывод указанных формул сводится к решению линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Получено математическое обоснование разработанного метода: доказаны теоремы существования и единственности, найдены условия сходимости интегралов в полученных формулах. Доказана теорема двойственности, согласно которой первые и вторые типы краевых задач с многослойными пленками на границе связаны между собой определенными формулами, при этом сильно- и слабопроницаемые прослойки в многослойной пленке меняются ролями. Найдено новое приложение полученных результатов в решении задач о тепловых волнах в курумах (Институт природных ресурсов, экологии и криологии СО РАН).