Уравнения в частных производных и их приложения

Доказаны новые теоремы о разрешимости краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений. Рассмотрены параболические операторы второго порядка с коэффициентами - измеримыми функциями времени в ограниченных областях с особенностями на границе. Построено новое семейство контрпримеров, показывающих границу применимости леммы Хопфа - Олейник. Изучен вопрос о точных константах в теоремах вложения, порожденных дробным оператором Лапласа произвольного порядка $0<m<n/2$ с граничным условием Навье. Показано, что эти константы совпадают с известными для граничного условия Дирихле. Исследована задача с препятствием для уравнений с дробным лапласианом Дирихле. Получены новые результаты об аппроксимации решений и их регулярности. Рассмотрены задачи многофазных упругих сред: для многомерной квазистационарной задачи теории фазовых переходов в случае специального класса начальных условий, индуцированных покрытием Витали, установлена глобальная разрешимость начально-краевой задачи, и указан характер приближения решения к аттрактору при возрастании времени в зависимости от температуры; для одномерной квазистационарной задачи теории фазовых переходов в механике сплошных сред определена эволюция во времени границы раздела фаз, найдены моменты перестройки и исследовано поведение решения при возрастании времени. Рассмотрены обратные задачи для уравнений математической физики. Разработан общий подход к задачам импедансной, акустической и электромагнитной томографий, использующий идеи некоммутативной геометрии. Изучены также обратные задачи для уравнений на графах. Описана общая структура алгебры эйконалов произвольного метрического графа с границей.