Исследование электронных и теплофизических свойств фрактальных эпитаксиальных наноструктур

Объект исследования - твердотельные наносистемы, фрактальные структуры, нелинейная колебательная система, дифференциальные уравнения в частных производных дробного порядка. Цель исследования - развитие математических методов для описания теплофизических и электронных свойств твердых тел с фрактальной структурой; разработка математических моделей колебательных систем и зондовых микромеханических систем; изучение широкого класса нелокальных дифференциальных уравнений математической физики фракталов. Развита модель Томаса - Ферми для многоэлектронного нейтрального атома при произвольной метрической размерности электронного облака. Показано, что электронное облако с пониженной размерностью должно располагаться в непосредственной близости от ядра атома. При метрической размерности электронного облака, равной 2, дифференциальное уравнение модели допускает решение в аналитическом виде, причем параметр экранирования в этом случае не зависит от заряда ядра атома. Исследована смешанная краевая задача в общей постановке для системы уравнений с частными производными дробного порядка в смысле Римана - Лиувиля с постоянными матричными коэффициентами. С помощью системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода задача сводится к своему частному случаю, для которого ранее было построено решение в терминах матрицы Грина. Доказаны теоремы существования и единственности решения исследуемой задачи. Даны корректные постановки основных начально-краевых задач в прямоугольной области и полуполосе для параболического уравнения второго порядка, содержащего частные дробные производные в смысле Римана - Лиувилля по одной из двух независимых переменных. Построены функции Грина и представления решений этих задач. Доказаны теоремы существования и единственности решений первой краевой задачи и задачи в полуполосе с краевым условием первого рода. Проведены экспериментальное и теоретическое исследования соударений осциллятора-ударника с упругим полупространством. Показано, что измерение акустических сигналов, возникающих при соударении ударника с исследуемым образцом, дает возможность определять его динамический модуль Юнга. Произведен аналитический расчет сил взаимодействия зонд - поверхность в атомно-силовом микроскопе с учетом адсорбции из внешней среды. В расчетах использовались уравнение Гиббса и различные известные изотермы монослойной адсорбции. Полученные результаты могут составить физически обоснованную теоретическую базу экспериментального метода исследования адсорбции с помощью измерения во внешней среде силы взаимодействия между зондом и поверхностью образца в атомно-силовом микроскопе. Рассмотрена задача рассеяния электромагнитных волн телами и частицами, на поверхности которых имеется свободный поверхностный заряд. Для плоской границы двух сред со свободными поверхностными зарядами получены соотношения для определения коэффициентов преломления и отражения в зависимости от плотности поверхностного заряда. При устремлении величины поверхностной плотности заряда к нулю выражения переходят к известным формулам Френеля. Показано, что наличие поверхностного заряда приводит к увеличению коэффициента отражения и уменьшению коэффициента прохождения по сравнению с незаряженной поверхностью.