Нелокальные дифференциальные уравнения смешанного типа математических моделей экстремальных процессов

Цель: доказательство существования и единственности решений локальных и нелокальных краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений и нагруженных уравнений смешанных типов, анализ и применение их к моделированию фрактальных динамических систем. В явном виде найдены решения 1-й краевой задачи и задачи Гурса для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости указанных задач. Показано, что в случае, когда нарушены условия теорем, однородные задачи, соответствующие 1-й краевой задаче и задаче Гурса, имеют бесчисленное множество линейно-независимых решений. Для общего уравнения эллиптического типа предложен разностный метод решения задачи Дирихле, обладающий 2-м порядком аппроксимации. Доказан принцип максимума для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами. Для модельного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с характеристической нагрузкой доказана теорема о существовании и единственности решения нелокальной задачи с интегральным условием в области гиперболичности. Исследован вопрос о единственности решения задачи Дирихле для уравнения типа Лаврентьева - Бицадзе в области с двумя параллельными линиями изменения типа. Для уравнения дробной диффузии, содержащего оператор дробного интегродифференцирования Капуто, доказаны теоремы о существовании и единственности решения нелокальной задачи с интегральным условием. На однозначную разрешимость исследована краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения с оператором Барретта в главной части. Для нагруженного уравнения гиперболического типа, являющегося математической моделью уравнения Аллера, в явном виде выписано решение задачи Гурса. Изучены локальные и нелокальные краевые задачи для вырождающихся гиперболических и нагруженных уравнений в частных производных смешанных типов, которые лежат в основе математического моделирования экстремальных процессов.