Развитие теории и методов решения задач динамической оптимизации

Объект исследования - динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными, функционально-дифференциальными уравнениями, дифференциальными включениями, уравнениями в частных производных. Цель исследования - развитие теории и методов конструирования решений новых задач управления и дифференциальных игр, разработка соответствующих алгоритмов и программ на базе современных достижений негладкого и выпуклого анализа. Доказано существование цены и седловой точки в классах чистых позиционных стратегий игроков для антагонистической дифференциальной игры, в которой движение конфликтно-управляемой системы описывается функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа в форме Дж. Хейла, а показатель качества оценивает историю движения и соответствующие реализации управлений игроков. В линейном случае предложен численный метод для нахождения цены и построения оптимальных стратегий, основанный на сведении задачи к дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной оценкой движения. Теоретические результаты подтверждены численным моделированием. Проведено сравнение метода с разработанными ранее процедурами оптимального управления с использованием конечномерных аппроксимирующих поводырей. В задаче о сближении в фиксированный момент времени нелинейных управляемых систем с неопределенным постоянным параметром и наборов дифференциальных включений развита теория и предложены методы построения приближенного решения. Предложен алгоритм приближенного восстановления значения параметра, присутствующего в управляемой системе. Продолжено изучение задач о сближении в фиксированный момент времени управляемых систем, не содержащих неопределенного параметра. В этих задачах существующие алгоритмы построения разрешающих управлений модифицированы за счет введения так называемых управлений-компенсаторов, улучшающих качество управления. Проведено моделирование ряда конкретных задач механики, в том числе задач управления обратным (одно- и двухзвенным) маятником с точкой подвеса, находящейся на подвижной тележке.Рассмотрен класс задач оптимального управления на бесконечном интервале времени с возможно неограниченным множеством ограничений на управление. При помощи конечно-временных аппроксимаций и аппарата принципа максимума Понтрягина в общем нелинейном случае получены новые достаточные условия существования оптимального управления, а также условия, гарантирующие равномерную локальную ограниченность оптимальных управлений. Полученные результаты применены к исследованию модели оптимальной эксплуатации возобновляемого ресурса. Доказаны теоремы о необходимых условиях существования псевдовершин целевого множества в плоской задаче о быстродействии при ослабленных предположениях о гладкости границы невыпуклой цели. Предложены комбинированные алгоритмы конструирования функции оптимального результата, объединяющие аналитические процедуры выявления негладких особенностей функции и численные процедуры ее формирования в областях дифференцируемости. Осуществлена численная реализация разрешающих конструкций - сингулярного множества, волновых фронтов (линий уровня обобщенного решения), функции оптимального результата. Для задач управления и динамических игр с бесконечным горизонтом исследованы свойства равновесных траекторий и функций цены. Разработаны алгоритмы построения оптимальных стратегий управления на основе теории обобщенных минимаксных решений уравнений Гамильтона - Якоби и принципа максимума Л.С. Понтрягина. Показано, что эти стратегии синтезируют траектории устойчивого развития системы. Проведено моделирование траекторий на реальных статистических данных в целях прогнозирования трендов экономического роста и анализа динамики финансовых рынков. Разработаны новые итерационные алгоритмы построения оптимальных покрытий и упаковок для множеств со сложной криволинейной геометрией на основе выделения так называемых характерных точек. Модернизированы алгоритмы отыскания чебышевского центра компактного множества за счет привлечения процедур сдвига. Доказаны теоремы о том, что алгоритмы при определенных условиях улучшают свойство покрытия. Проведено численное моделирование построения аппроксимации оптимального покрытия для фигур, ограниченных алгебраическими кривыми третьего и четвертого порядков. Рассмотрены некоторые типичные процессы изгибаний стержня при сильном продольном сжатии. Установлено, что для данных процессов расширяющиеся области быстрых нарастаний изгибаний начинаются в малых окрестностях точек сингулярностей решений предельного уравнения Лапласа. Начальные стадии этих нарастаний описаны с помощью интеграла Харди. Вычислено точное значение контактного сопротивления малого квадратного контакта в случае постоянной плотности тока на его поверхности, что соответствует случаю, когда поверхность контакта покрыта плохо проводящей пленкой. В процессе решения была рассмотрена асимптотика суммы ряда, сингулярно зависящего от малого параметра.