Отчет о научно-исследовательской работе "Разработка методов решения смешанных задач для уравнений математической физики, их применение к математическому моделированию размерных явлений во фрактальных наноструктурированных средах" за 2017 год (промежуточный)

Объекты исследования: твердотельные углеродные наноструктуры, нелинейная колебательная система, дифференциальные уравнения в частных производных дробного порядка. Цели: развитие математических методов для описания физико-химических, теплофизических и электронных свойств твердотельных наноматериалов; разработка математических моделей нелинейных колебательных систем и зондовых микромеханических систем. В рамках квантово-статистического метода выведено новое уравнение состояния фуллеритов C60 и C70. Уравнение состояния содержит два параметра Грюнайзена, отвечающие за колебательно-вращательный и внутримолекулярный вклады молекул фуллерена, которые представляются в виде квантовых изотропных осцилляторов. С помощью квантово-статистического метода произведен ab initio расчет изохорной теплоемкости алмаза, кремния и германия. Для расчета энергии фононов использован потенциал Морзе. Показано, что ангармонизм колебаний атомов решетки имеет место при температурах ниже температуры Дебая. Учет решеточного ангармонизма позволяет более корректно интерпретировать экспериментальные данные о температурной зависимости теплоемкости алмаза, кремния и германия. С использованием парного потенциала Леннарда - Джонса выведены формулы для потенциала и силы взаимодействия молекулы фуллерена С60 с идеальным бесконечным листом графена. Проведено численное моделирование падения молекулы фуллерена на графен. Показано, что вблизи поверхности графена молекула фуллерена совершает колебательное движение, характер которого зависит от начальных условий и параметров взаимодействия. Выведено общее выражение для потенциала дисперсионного взаимодействия Ван-дер-Ваальса нейтрального атома со структурой, характеризующейся дробной фрактальной размерностью. Получено выражение для частоты столкновений атомов водорода в квантовом (квазиклассическом) приближении с поверхностью с произвольной фрактальной размерностью структуры. При рассмотрении общего уравнения адсорбции с учетом фрактальной размерности поверхности адсорбента было показано, что эта величина определяет показатель степени в эмпирическом уравнении изотермы адсорбции Фрейндлиха. Выведено уравнение для размерной зависимости поверхностного натяжения мениска в нанокапилляре. Проведен анализ и получено асимптотическое решение уравнения для размерной зависимости поверхностного натяжения мениска в нанокапилляре. Разработана математическая модель колебаний заделанной с двух сторон балки с учетом эффекта динамического гистерезиса, который описывается с помощью дробного интегродифференцирования. В аналитическом виде найдено решение основного уравнения модели. Произведены численные расчеты, и показано, что применение аппарата дробного интегродифферецирования позволяет физически корректно описывать диссипативный характер колебаний балки. В графической среде Simulink построена имитационная модель колебаний нелинейного осциллятора при упругом контакте с плоской поверхностью. Численно решена задача Коши, описывающая такое взаимодействие. Для полученного численного решения, а также звуковых сигналов, возникающих при соударении зонда с твердой поверхностью, проведено вейвлет-преобразование. Вейвлет-анализ сложных акустических сигналов позволил обнаружить мелкомасштабные особенности спектров, которые необходимы для интерпретации эксперимента. ].