Нелинейные системы и геометрия

Численно найдены дискретные спектры некоторых двумерных операторов Шредингера. Эти операторы получены с помощью преобразованиия Мутара и обладают интересными спектральными свойствами, а именно: их ядра многомерны, а деформации потенциалов, заданные уравнением Веселова - Новикова (двумерное обобщение уравнения Кортевега – де Фриза), приводят к разрушению решений. Представлены численные обоснования некоторых утверждений, связанных с двумерным оператором Шредингера. Численная схема применима к общему оператору Шредингера с быстроубывающим потенциалом. Построен новый дискретно-топологический дескриптор для 1-форм, обобщающий множество Якоби для градиентных векторных полей, проведены численные эксперименты по изучению его поведения на модельных примерах. Представлена конструкция многопараметрических семейств локальных двумерных метрик с полиномиальными первыми интегралами произвольной степени по импульсам. Такие интегрируемые геодезические потоки описываются полугамильтоновыми системами гидродинамического типа. Представлен алгоритм (метод обобщенного годографа) для построения решений таких систем уравнений. Предложен новый способ построения редукций полугамильтоновых систем гидродинамического типа, которые отвечают двумерным интегрируемым геодезическим потокам, основанный на факторизации однородных полиномиальных первых интегралов (по импульсам). Доказано, что все интегрируемые слабонелинейные трехмерные уравнения второго порядка, классифицированные Е.В. Ферапонтовым и Дж. Моссом, связаны друг с другом нетривиальными преобразованиями Бэклунда. Построены соответствующие преобразования Бэклунда. Доказано, что если магнитный геодезический поток на двумерном торе на фиксированном уровне энергии обладает рациональным по импульсам первым интегралом, у которого степени числителя и знаменателя совпадают, то существует рациональный интеграл с меньшей степенью числителя и с тем же знаменателем. В частности, доказано, что если числитель и знаменатель первого интеграла - полиномы первой степени по импульсам, то существует линейный первый интеграл на всех уровнях энергии. Исследованы уравнения Кричевера - Новикова на параметры Тюрина, отвечающие обыкновенным коммутирующим дифференциальным операторам ранга больше 1, в случае гиперэллиптических спектральных кривых. Построен ряд примеров обыкновенных коммутирующих дифференциальных операторов ранга два.