ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ "КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ"

Для нелинейной управляемой системы в конечномерном евклидовом пространстве изучена задача о сближении с целевым множеством в фиксированный момент времени; при этом целевое множество представимо как множество Лебега некоторой скалярной функции. Предложена схема конструирования программного управления, решающего задачу о сближении приближенно, и обоснована корректность схемы. Для нелинейной конфликтно управляемой системы в конечномерном евклидовом пространстве, удовлетворяющей локальному условию седловой точки в маленькой игре, изучена игровая задача о сближении с целевым множеством в фиксированный момент времени. Дано новое определение центрального в теории позиционных дифференциальных игр свойства стабильности. С использованием этого свойства определена система множеств, аппроксимирующая множество разрешимости в игровой задаче о сближении. Для построения множеств разрешимости задач о сближении управляемых систем и игровых задач о сближении конфликтно управляемых систем разработаны методы приближенного вычисления множеств достижимости и интегральных воронок нелинейных (по фазовой переменной) управляемых систем. При разработке методов и алгоритмов использованы возможности параллельных вычислений, предлагаемых графическими процессорами GPU, созданными по технологии CUDA.Проведено математическое моделирование двух вариантов игровой задачи о сближении управляемой механической системы «два связанных маятника», имеющей размерность 4. На основе разработанных алгоритмов вычислена аппроксимирующая система множеств и реализовано правило экстремального прицеливания Н.Н. Красовского на эту систему в паре с некоторыми управлениями игрока-противника. Разработана модель построения динамического равновесия по Нэшу в биматричной координационной игре. Стратегии управления построены на основе принципа обратной связи, развитого в научной школе Н.Н. Красовского. Решение задачи реализовано в рамках теории обобщенных минимаксных решений уравнений Гамильтона - Якоби. Предложенный подход обеспечивает решение динамической игры со свойствами лучшими, чем значения конкурентных статистических равновесий по Нэшу. Проведен анализ задач управления на бесконечном промежутке времени в рамках принципа максимума Понтрягина. Особый акцент сделан на анализе качественного поведения гамильтоновых систем и характере их стационарных точек. Установлено, что для большинства моделей экономического роста с аффинной по управлению динамикой и постоянным дисконтирующим множителем якобиан гамильтоновой системы, вычисленный в стационарной точке, имеет собственные числа специфической структуры, которая выписывается в явном виде через собственные числа гамильтоновой матрицы. Теоретические результаты использованы для анализа двух и трехфакторных моделей экономического роста. Получены достаточные условия на управляемую систему в конечномерном евклидовом пространстве, при которых с помощью метода Рунге - Кутты достигается второй порядок точности относительно шага по времени. Изучена задача о построении оптимальных покрытий и упаковок плоских множеств сложной геометрии, в частности, множеств, ограниченных алгебраическими кривыми. Продолжено развитие итерационных и стохастических алгоритмов построения оптимальных покрытий и упаковок с определенной степенью точности. Изучена новая задача об упаковке в выпуклую плоскую фигуру набора из кругов различного радиуса. Для управляемых систем, линейных по управлениям и нелинейных по фазовым переменным, метод решения задачи реконструкции управлений по зашумленным апостериорным данным распространен на задачи динамической реконструкции.