Разработка новых методов трёхмерного численного моделирования гармонических полей в задачах разведочной геофизики (этап 1, промежуточный)

В 2018 - 2019 гг. изучена задача с переменой плотностью, которая с точки зрения техники предобусловливания заметно отличается от классического уравнения Гельмгольца. Показано, что для случая акустических сред с горизонтально-слоистым изменением плотности и произвольным изменением скорости звука метод показывает хороший результат и оператор метода является сжимающим. Этот метод можно назвать "предобусловливатель с сжимающим оператором". Для произвольной вариации плотности свойства предобусловленной системы будут существенно отличаться. Во-первых, часть матриц, возникающих в методе, перестанут быть диагональными и, соответственно, их обращение потеряет экономичность. Также предположительно можно показать, что существует среда, которая приведёт к тому, что оператор перестанет быть сжимающим. Сделан вывод, что представленный подход вряд ли обобщаем на случаи с произвольной вариацией плотности. Изучен вопрос применения граничных условий PML и их влияния на спектральные свойства матрицы, а также применён новый способ предобусловливания задачи, устраняющий зависимость числа обусловленности от шага сетки и частоты и ослабляющий зависимость от контраста коэффициентов. Путем проведения численных экспериментов показано, что предобусловленная система обеспечивает хорошую сходимость для итерационного метода для высококонтрастной задачи, а число PML слоёв слабо влияет на скорость сходимости. Сделано заключение, что использование граничных условий PML оказывает слабое влияние на спектральные свойства предобусловленной системы. Разработан метод ускорения задачи за счёт техники частичного решения СЛАУ в некоторых специальных случаях. За отчётный период был исследован метод частичного решения СЛАУ, возникающих при численной дискретизации трёхмерных уравнений электромагнитной диффузии, позволяющий снизить арифметическую сложность применения предобуславливателей ФГ и СО. Показано, что предобусловленные системы содержат большой нулевой и единичный блок, появившийся из-за нетривиального ядра диагональной матрицы. В результате решение системы можно реализовать со сложностью каждой итерации, в то время как сложность на каждой итерации предобусловливателя с ФГ была. Подобное проектирование на образ матриц с небольшим рангом в литературе называют частичным решением СЛАУ. Можно заключить, что техника с частичным решением будет оправдана, если число аномальных слоёв существенно меньше общего числа слоёв. Аналогичным образом можно сформулировать технику частичного решения СЛАУ и для предобусловливателя с CO. Проведено тестирование техники частичного решения на трехмерной задаче. Использование техники частичного решения уменьшила задачу с 2’682’513 до 1’020’462 неизвестных, т. е. в 2,6 раза. Использование предобусловливателя с СО ускорило решение СЛАУ более чем в три раза по числу итераций и времени расчёта по сравнению с предобусловливателем с ФГ. Отмечено, что использование частичного решения существенно снизило время расчёта более чем в два раза, а число итераций почти не изменилось по сравнению с полным решением для обоих методов. Этот эксперимент показывает, что использование предобусловливателя с СО, дополненного техникой частичного решения СЛАУ, позволяет построить высокоэффективный алгоритм для больших высококонтрастных прикладных задач, например возникающих в поисковой геофизике. Для уравнений акустики с использованием метода интегральных уравнений получен следующий результат. Показано, что матрица дискретного интегрального уравнения «почти» эквивалентна матрице конечно-разностной СЛАУ, предобусловленной матрицей фоновой среды. Различия связаны с наличием PML слоёв и тем, что интегральное уравнение решается только в области ненулевых значений аномальной среды. Таким образом, обусловленность матрицы в интегральном подходе существенно лучше, чем соответствующей конечно-разностной матрицы.