Разработка методов решения смешанных задач для уравнений математической физики, их применение к математическому моделированию размерных явлений во фрактальных наноструктурированных средах (промежуточный, этап 3)

Цель: развитие математических методов для описания физико-химических, теплофизических и электронных свойств твердотельных наноматериалов; разработка математических моделей нелинейных колебательных и зондовых микромеханических систем. С помощью аналога уравнения Башфорта - Адамса для лежащей капли показано, что если ее размер не так велик по сравнению с толщиной поверхностного слоя, то зависимость поверхностного натяжения от кривизны будет играть существенную роль. Рассмотрен случай цилиндрического зародыша, когда его диаметр меньше, чем длина Толмена. Найдена связь между координатами произвольной точки на поверхности капли и объемом заключенной жидкости. Смоделировано изменение линейных размеров капли с увеличением объема жидкости. Исследована размерная зависимость поверхностного натяжения мениска жидкости в нанокапилляре. Проведено моделирование процесса остывания графена за счет радиационного теплообмена в предположении, что графен является идеальным двухмерным абсолютно черным телом. Выведен двухмерный аналог формулы Стефана - Больцмана. Вычислен потенциал взаимодействия между молекулой фуллерена и однослойной углеродной натотрубкой, и с его помощью рассчитаны равновесное расстояние и энергия связи в зависимости от радиуса нанотрубки и расположения молекулы. Определен минимальный размер нанотрубки, внутри которой может находиться молекула фуллерена. Выведены формулы для потенциала и силы взаимодействия молекулы фуллерена с эпитаксиальным графеном, который адсорбирован на толстой подложке. Показано, что характер взаимодействия определяется в основном системой фуллерен - графен; подложка вносит определяющий вклад на больших расстояниях между фуллереном и графеном. Проведено моделирование падения молекулы фуллерена на эпитаксиальный графен. Получена формула для удельной энергии адгезии графена на подложке. Выведены формулы для потенциала и силы взаимодействия молекулы фуллерена с двумя плоскостями графена. Проведено моделирование движения молекулы фуллерена между плоскостями графена. Показано, что молекула фуллерена совершает колебательное движение, зависящее от начальных условий и параметров взаимодействия. Выполнено экспериментальное исследование влияния плотности монтажа SMD-компонентов на колебательные характеристики многослойных печатных плат. Показано, что изменение колебательных характеристик определяется структурой монтажа и упругими свойствами плат, что необходимо учитывать при обеспечении виброзащиты. Разработана методика моделирования изображений в сканирующем зондовом микроскопе с одновременным применением вейвлет-преобразования и медианной фильтрации. С помощью моделирования показано, что разрешение может соответствовать атомарному, если размеры контактной области намного превышают атомные размеры, а также имеется случайный разброс в расположении атомов решетки. Дано объяснение явлению инверсии контраста изображений при многократном сканировании. Предложено численное решение уравнения колебаний осциллятора с соударениями, которые описываются в рамках контактной теории Герца. Проведено вейвлет-преобразование указанного решения и измеренных экспериментальных сигналов, что позволило повысить информативность при изучении соответствующего физического процесса.