Исследование и разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения в области вычислительной математики

Развита теория новых типов краевых задач для параболических уравнений, которые существенно отличаются от обычных постановок таких задач. Один из рассмотренных типов составляют нелинейные системы, которые включают краевую задачу для параболическогоуравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени, а также уравнение, описывающее изменение по времени искомого коэффициента. Другой тип краевых задач связан с нелинейными системами для параболических уравнений с неизвестными правыми частями, включающими краевые задачи с неизвестными функциями источника и уравнения изменения по времени этих искомых функций. Выполнен численный анализ абстрактной дробной задачи D^α u (t) = Au (t) + f (u (t)), u (0) = u⁰ в банаховом пространстве E. Разработан общий подход к доказательству наличия полудискретной аппроксимации устойчивых многообразий. Фазовое пространство в окрестности стационарной гиперболической точки может быть разложено таким образом, что исходная начальная задача сводится к системам начальных задач в инвариантных подпространствах, соответствующих положительным и отрицательным вещественным частям спектра. Показано, что такое разложение уравнения сохраняет ту же структуру на общей аппроксимационной схеме. Разработан комплекс программ для решения задачи Коши для канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка методом рядов, основанным на представлении решения уравнений и входящих в эти уравнения производных решения в виде частичных сумм ортогональных рядов по смещенным многочленам Чебышева 1-го рода. Предусмотрена возможность вычисления значения решения в конце промежутка интегрирования и получения ортогональных разложений решения на заданном интервале интегрирования или нескольких таких ортогональных разложений на некоторой последовательности образующих интервал интегрирования элементарных сегментов.