Краевые задачи для неклассических уравнений с частными производными

Объект исследования: неклассические краевые задачи для уравнений математической физики, нелинейные задачи для моделей композитных тел с трещинами; дробные дифференциальные уравнения типа Маккина - Власова; бесконечные системы линейных алгебраических уравнений; плоские графы; математические модели процессов диффузии на молекулярном уровне. Цель: получение новых результатов в области краевых задач для неклассических дифференциальных уравнений; развитие общей теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений; анализ нелинейных задач для моделей композитных тел с трещинами; исследование регулярности и чувствительности дробных дифференциальных уравнений типа Маккина - Власова; получение новых структурных свойств плоских разреженных графов; применение вычислительных методов для изучения процессов диффузии на молекулярном уровне, включая диффузионные процессы в системах, имитирующих биологические. Доказаны теоремы разрешимости для задачи Врагова для уравнения смешанного типа второго порядка, для уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени с интегральными граничными условиями. Получены оценки сходимости и погрешности. Доказаны: корректность краевых задач для параболических уравнений четвертого и шестого порядков с меняющимся направлением времени в случае полной матрицы условий склеивания; регулярная разрешимость краевых задач для уравнения смешанно-составного типа высокого порядка по времени, в первой краевой задаче для вырождающегося уравнения нечетного порядка по времени. Получены оценки погрешности нестационарного метода Галеркина; теоремы регулярной разрешимости краевых задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка по временной переменной со специальными краевыми условиями; теоремы о качественных свойствах решений для нелинейных моделей композитных тел с трещинами, в том числе теоремы о разрешимости задач оптимального управления в исследованных математических моделях; теоремы регулярности и гладкой зависимости от входных данных решений для нелинейного дробного дифференциального уравнения типа Маккина - Власова. Дан полный список точных описаний 3-цепей с центрами в 2-вершинах в плоских графах с минимальной степенью 2 и обхватом 6. Получены решения конечных гауссовых однородных систем линейных алгебраических уравнений с вырожденной матрицей. Введено понятие главного фундаментального решения однородных бесконечных систем. Разработаны и численно реализованы модели для процессов диффузии в белок-мембранных системах и системах, имитирующих органические нанопористые материалы. Подготовлены комплексы структур, разработаны протоколы для моделирования процессов диффузии.