отчет за 2019 год по проекту "Разработка математических моделей нелинейных процессов фильтрации и конвекции в вязких средах"

Цель: разработать численно-аналитические алгоритмы глобального решения нелинейного уравнения фильтрации (теплопроводности) на основе автомодельного подхода с применением методов граничных элементов и степенных рядов; реализовать алгоритмы в виде программ; сопоставить результаты расчетов с результатами качественного исследования; построить новый класс точных решений уравнений Обербека - Буссинеска для трехмерных слоистых течений, поле скоростей которого линейно зависит от двух координат, а температура и давление - нелинейно; провести численно-аналитическое исследование влияния вертикальной закрутки и температурной стратификации в жидкости на противотечения и число точек покоя. Разработаны численно-аналитические алгоритмы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, к которой сводится задача о движении тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности (фильтрации) на основе автомодельного подхода. Разработаны и реализованы: в виде программы алгоритм решения методом граничных элементов с использованием метода двойственной взаимности; алгоритм построения решения в виде степенного ряда. Проведены сравнения решений двумя методами между собой и с известными точными решениями. Дан численный анализ построенных частично-автомодельных решений, результаты которого сопоставлены с результатами проведенного ранее качественного анализа. Решение исследованной задачи Коши позволяет в рассмотренных случаях строить «глобальное» (для любого момента времени) решение задачи о движении тепловой волны (волны фильтрации). Построен новый класс точных решений уравнений Обербека - Буссинеска, который нелинейно зависит от двух координат для трехмерных слоистых течений. Проведено численно-аналитическое исследование влияния нелинейных относительно горизонтальных координат слагаемых в решении на противотечения и число точек покоя в течениях вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном горизонтальном слое при выполнении условия прилипания и на абсолютно твердой границе слоя. Точные решения построены с помощью алгебраических тождеств для многочленов относительно двух координат (горизонтальных или продольных), с коэффициентами, зависящими от третьей (вертикальной или поперечной) координаты и времени. Результаты будут использованы для точного и численно-аналитического исследования влияния вертикальной закрутки на противотечения, на формирование числа застойных точек в потоке жидкости. Классы точных решений уравнений Обербека - Буссинеска будут применяться для описания стратифицированных потоков жидкости в инерциальной и вращающейся системах координат.