Разработка численных схем исследования математических моделей механики сплошных сред в многосвязных областях

Объектом исследования являются математические модели механики сплошных сред. Цель работы: разработка численных схем решения задач теории упругости и гидродинамики в многосвязных областях. Многие математические модели механики сплошных сред описываются эллиптическими уравнениями, в том числе высших порядков. Численные и аналитические методы их решения не всегда хорошо адаптированы к применению в многосвязных областях, что связано с некоторыми механическими особенностями рассматриваемых задач. Встает проблема необходимости модификации этих методов и изучения способов их применения для решения актуальных задач гидродинамики и теории упругости. Одной из таких задач является расчет прочности подводных объектов большого водоизмещения, идея использования которых предложена профессором А.Г. Терентьевым для решения энергетической проблемы и проблемы рационального природопользования [Terentiev A.G. Deep water technology: problems and solutions // World Maritime Technology Conf., Saint ¬Petersburg, 2012. P. 1–7.]. Основной математический метод, который использовался для решения задач Проекта – это численный метод граничных элементов (МГЭ). В ходе реализации Проекта разработаны численные схемы решения различных краевых задач теории полигармонических функций в многосвязной плоской области с применением МГЭ и его модификаций: а) схема с линейными граничными элементами; б) схема "без насыщения". Проведено сравнение указанных алгоритмов, получены оценки точности. Проведено исследование плоских математических моделей теории упругости, динамики вязкой жидкости, термостатики, описываемых полигармоническими уравнениями, в том числе неоднородными. Основное внимание было уделено следующим задачам: задача о стационарном распределении температуры в однородном цилиндрическом теле, кручение призматического стержня, течение вязкой жидкости, плоская задача теории упругости, задача изгиба тонких пластин. Кроме того, получен ряд аналитических результатов. Построено обобщение решения Жуковского-Чаплыгина гидродинамической задачи о движении вязкой жидкости, заключенной между вращающимися эксцентрично расположенными круговыми цилиндрами; проведен подробный анализ структуры течения. Рассмотрена аналогия между двумя плоскими задачами динамики вязкой жидкости и теории упругости в кольце. Прикладная значимость результатов определяется тем, что проведены численные исследования математических моделей, которые имеют приложения в таких отраслях как авиационная промышленность, кораблестроение, освоение морских глубин. Последнее может иметь существенное значение для решения приоритетных проблем: энергетической и проблемы рационального природопользования.