Качественные методы исследования линейных и нелинейных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений и их применения в биомедицине и теории плазмы

В проекте исследуются различные виды линейных и нелинейных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений и их применения в биомедицине и теории плазмы. Кроме того, часть проекта посвящена исследованию функциональных пространств и операторов, действующие в них. Эти объекты являются важными математическими инструментами для решения многих прикладных и теоретических задач. Актуальность проекта и его научная значимость заключаются в построении теории, позволяющей едиными методами исследовать несколько известных нерешенных проблем теории дифференциальных уравнений с частными производными и функционального анализа: проблему разрешимости смешанных задач для системы уравнений Власова-Пуассона, а также проблему Като о корне квадратном из оператора. Создание и исследование математических моделей в биомедицине помогает понять механизмы физиологических процессов при их нормальном и патологическом функционировании, а также с помощью математического моделирования предложить эффективные методы лечения ряда различных заболеваний. Применение математического моделирования актуально также для исследования вещества в экстремальных условиях, когда натурный эксперимент является крайне дорогостоящим или невозможен. Расчет и оптимизация параметров лазерного импульса и мишени востребованы для диагностики плазмы, конструирования высокотехнологичных установок типа Токамак, приложений в диагностике и лечении некоторых видов онкологических заболеваний. Целью работы является разработка методов исследования следующих классов линейных и нелинейных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений: задачи об успокоении системы управления с последействием, краевых задач для системы Власова-Пуассона, эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями сжатия и растяжения аргументов, эллиптических систем второго порядка, нелинейных дифференциально-разностных уравнений, смешанных задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений, начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений нечетного порядка. В рамках проекта изучаются качественные свойства решений этих уравнений: разрешимость и корректность, регулярность и асимптотическое поведение решений, аналитические и топологические аспекты теории нелокальных эллиптических задач на многообразиях с краем. Помимо теоретических исследований, важной частью проекта является прикладное направление, включающее в себя математическое моделирование в биомедицине и математический анализ моделей, возникающих в биомедицине, а также моделирование трехмерных процессов динамики вещества в сильном лазерном поле с использованием разработанных программ (на основе численного решения системы уравнений Власова-Максвелла и МГД с использованием метода частиц и конечно-разностных методов). В теоретической части проекта были использованы современные методы алгебры, математического анализа, теории функций, функционального анализа, топологии, дифференциальных уравнений, динамических систем, уравнений в частных производных и других разделов математики. Для реализации практической части исследования применялись современные численные методы, методы теории аппроксимации и математического моделирования.