ОТЧЕТ Функционально-аналитические методы исследования краевых задач для дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений в частных производных (заключительный)

Отчет содержит 35 страниц, 1 книгу отчета; список использованной литературы из 30 названий. Ключевые слова: Уравнения реакции-диффузии, уравнение Власова, уравнение Лиувилля, эллиптическое функционально-дифференциальное уравнение, нелокальные члены, квазилинейные уравнения, дифференциально-разностные уравнения, нелокальные эллиптические операторы, фредгольмовость, индекс, абсолютно непрерывный спектр, сингулярный спектр, матрица рассеяния, формулы следов, самосопряжённые операторы, нормальные операторы, след, кратные операторные интегралы, эллиптические краевые задачи, задача Вентцеля, задача с препятствием, бигармонический оператор, апостериорные оценки, нелинейные уравнения с частными производными, начально-краевые задачи, гистерезис, существование решения граничной задачи, единственность решения, корректность граничной задачи, диффузия, объем. Объектом исследования являются краевые задачи для дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений в частных производных. Методы исследования – это комбинация современных методов и подходов функционального анализа, теории функциональных пространств, математической физики и уравнений с частными производными. Цель работы: Исследование новых классов дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, неравенств и систем и применение полученных результатов к междисциплинарным исследованиям в математических моделях физических и биологических процессов. Полученные результаты и новизна Получены следующие новые результаты. Рассматривается сложная динамика взаимодействия естественной конвекции и теплового взрыва в пористых средах. Для уравнения теплопроводности в сочетании с нестационарным уравнением Дарси, используя метод радиальных базисных функций, выявлена сложная динамика решений и переходы к хаосу. Рассматривается система уравнений Власова-Пуассона для двухкомпонентной высокотемпературной плазмы с внешним магнитным полем в следующих двух случаях: трехмерном торе, который соответствует “токамаку”, и трехмерном цилиндре, который соответствует “пробочной ловушке”. Доказано существование стационарных решений системы Власова-Пуассона в указанных областях с функциями распределения заряженных частиц с компактным носителем. Выполнена редукция уравнения Власова-Пуассона к эллиптическим уравнениям энергетической подстановкой и получение общего решения в условиях квазинейтральности. Выведены различные формы уравнений Власова-Максвелла Эйнштейна и их гидродинамические следствия. Доказана теорема о совпадении временных средних с экстремалями Больцмана и изучены её следствия. Рассматривается линейная система управления, описываемая системой дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с несколькими запаздываниями и переменными матричными коэффициентами. Доказано существование и единственность обобщенного решения этой краевой задачи. Исследуются смешанные краевые задачи для эллиптических дифференциально-разностных уравнений в цилиндре. Рассмотрены отображения, порожденные разностными операторами в пространствах Соболева. Для смешанной задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений доказана теорема об однозначной разрешимости и о гладкости обобщенных решений такой задачи. Для задачи Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с операторами, представляющими собой композиции дифференциальных и разностных операторов, доказана классическая разрешимость. Доказано, что добавление членов нулевого порядка в сингулярные параболические уравнения с KPZ-нелинейностями принципиальным образом изменяет асимптотические свойства решения задачи Коши, а именно: решение убывает на бесконечности независимо от поведения начальной функции задачи, а скорость и характер этого убывания зависят от условий, наложенных на младшие коэффициенты уравнения. Рассмотрены квантовые графы с бесконечным числом вершин и ребер. Предполагается, что не существует положительная нижняя граница длин ребер графов. Установлены спектральные свойства бесконечных квантовых графов (несколько результатов самосопряженности, проблема нижней полусопряженности, спектральные оценки и спектральные типы). Рассматриваются эллиптические операторы, связанные с дискретными группами квантованных канонических преобразований. Определен локализованный алгебраический индекс полного символа эллиптического оператора. Показано, что локализованный аналитический индекс и локализованный алгебраический индекс совпадают. Исследуется эллиптичность (фредгольмовость) псевдодифференциальных операторов типа Шубина и метаплектического оператора, в пространствах типа Соболева на Rn. Рассматривается обратная вариационная задача для системы Соболева. Показано, что эта система не допускает матричного вариационного множителя заданной формы. Рассмотрены начально-краевые задачи в полосе с различными типами граничных условий для модифицированного уравнения Захарова-Кузнецова. Установлены результаты о локальной и глобальной корректности в классах слабых и регулярных решений. Рассматривается эллиптическое вариационное неравенство, возникающее в задаче с препятствием для бигармонического оператора. Изучены оценки разности между точным решением (минимайзером) соответствующей вариационной задачи и произвольной функцией из энергетического класса, которая удовлетворяет поставленным краевым условиям и ограничениям, связанным с препятствием. Степень внедрения Результаты проекта могут быть использованы для разработки постановок новых задач для будущих научно-исследовательских работ, диссертационных и дипломных работ. Полученные результаты предполагается внедрить в учебный процесс. Во-первых, модернизировать существующие курсы, а во-вторых, создать новые курсы, посвященные современным методам исследования функционально-дифференциальных уравнений и их приложений, для бакалавров и магистров. Область применения Полученные научные результаты послужат отправной точкой для дальнейших исследований мирового уровня и проектов в области уравнений в частных производных, а также приложений к задачам математической физики, биологии и медицины.