Построение асимптотических решений задач акустики мелкого моря с помощью канонического оператора Маслова

Для описания распространения акустических волн в мелком море исследуется задача Коши для неоднородного волнового уравнения с переменными коэффициентами и нулевыми начальными данными. Мы развиваем метод построения асимптотики решения поставленной задачи, предложенный в работах Доброхотова, Миненкова, Назайкинского и Тироцци. В этих работах решалась задача Коши на плоскости для неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными данными. Правая часть в волновом уравнении представляет произведение локализованной функции по пространству и быстродействующей функции по времени. При стремлении времени действия источника к нулю, временная часть источника стремится к производной дельта-функции Дирака. Это обстоятельство позволяет применить принцип Дюамеля, в результате чего получается задача Коши для однородного волнового уравнения с ненулевыми начальными условиями. Дальнейшие вычисления основываются на том, что полученные начальные условия можно заменить на близкие таким образом, что главный член асимптотики решения не изменится. С новыми начальными условиями задача Коши для волнового уравнения решается методами, основанными на каноническом операторе Маслова. В данном исследовании ставится задача для трехмерного волнового уравнения, заданного в слое. Хотя основные моменты и идеи метода, описанного выше, остаются в силе, асимптотика решения уже не представляется в аналогичном виде. Это связано не только с размерностью уравнения, но, в основном, с границей и граничными условиями на ней. Распространение акустических сигналов в мелком море можно описать с помощью системы Гамильтона, отвечающей волновому уравнению. Траектории системы Гамильтона отражаются от границы согласно закону Снеллиуса. От поверхности океана, в зависимости от граничных условий, отражение меняет фазу волны. Но в силу акустической специфики дна, отражение от него приводит не только к смене фазы, но и к изменению амплитуды волны в зависимости от угла падения. Отражение от границы приводит к тому, что многообразие, на котором строится канонический оператор Маслова, становится разрывным. Подобная структура траекторий приводит к новым конструкциям канонического оператора и новым формулам, выражающим асимптотику решения задач о распространении звука в мелком море.