Аналитические, асимптотические и численные методы построения решений прямых, обратных и сингулярно возмущенных задач математической физики

В ИММ УрО РАН широко проводятся аналитические и численные исследования прямых и обратных задач математической физики, теории управления с малыми параметрами. Многие задачи являются некорректными, для их решения требуется разработка специальных методов устойчивого численного решения. Объектом исследования являются прямые и обратные задачи математической физики, сингулярно возмущенные задачи математической физики и теории управления c малыми параметрами. Цель работы - разработка аналитических и численных методов решения указанных задач. При проведении работ использовались следующие методы: методы теории некорректных задач и численные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными; оригинальный вариационный подход к построению оптимальных сеток, развиваемый в ИММ УрО РАН; оригинальный метод исследования нелинейных дифференциальных уравнений с использованием идей дифференциальной геометрии; построение новых математических моделей процессов теплопереноса в многофазных средах; метод специальных рядов, развивающий идеи академика А.Ф. Сидорова; методы теории дифференциальных уравнений и функционального анализа; методы классической теории оптимального управления, выпуклого анализа и теории двойственности; методы асимптотического анализа, включая метод пограничных функций, метод согласования асимптотических разложений и метод вспомогательного параметра. Методы и подходы, используемые при решении и исследовании задач, развивают традиционные или являются новыми. Основные результаты работы состоят в решении следующих задач. Задача о восстановлении неизвестной вязкости в модели движения несжимаемой вязкой жидкости на основе измерения доступных параметров течения. Разработка методов и алгоритмов численного моделирования распространения вулканического лавового потока. Разработка и оптимизация алгоритмов генерации трехмерных структурированных сеток в деформированных телах вращения для случаев усложненных конструкций деформирующего тела. Получение точных решений нелинейных уравнений и систем в частных производных геометрическим методом. Моделирование процессов распространения тепловых полей в многолетнемерзлом грунте от различных инженерных систем, а также в системах с дополнительными источниками тепла. Изучение асимптотических разложений решений задач теории оптимального управления, зависящих от малых параметров, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Получение асимптотического разложения решения сингулярной задачи оптимального распределенного управления с существенными ограничениями в выпуклой области. Исследование асимптотики решения задачи оптимального граничного управления с двумя малыми параметрами. Исследование существования и свойств решений нелинейных эллиптических уравнений и вариационных неравенств. Исследование сходимости решений вариационных задач с неявными поточечными ограничениями в переменных областях. Изучение асимптотического поведения вблизи особой точки решения сингулярной задачи Коши для параболического уравнения с малым параметром, а также на больших временах решения задачи Коши для некоторых уравнений математической физики. Результаты работ имеют значение как для развития математической теории, так и для практического применения.