Теория дифференциально-разностных уравнений и их приложения

Объектом исследования являлись задачи в области уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений, уравнений с запаздывающим аргументом, оптимального управления и идентификации. Цель исследований заключалась в изучении разрешимости новых краевых задач для классов уравнений с частными производными, изучении асимптотических свойств решений классов функционально-дифференциальных уравнений, изучении сходимости алгоритмов решения задач оптимального управления и идентификации. При проведении исследований была доказана корректность задачи Коши и смешанных задач для псевдогиперболических уравнений с эллиптическим оператором при старшей производной, получены условия разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для вырождающихся гиперболических, квазипараболических, квазиэллиптических уравнений и обратных задач для эллиптических и параболических уравнений. Получен критерий однозначной разрешимости в соболевском пространстве задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ограниченной липшицевой области. Установлены новые свойства инвариантных операторов на сферических вектор-функциях. При изучении свойств функционально-дифференциальных уравнений впервые были установлены условия экспоненциальной устойчивости стационарных решений для классов нелинейных уравнений, оценки скорости стабилизации на бесконечности и оценки областей притяжения, изучена робастная устойчивость линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и с запаздывающим аргументом, получены результаты о существовании предельных циклов в полиномиальных системах Дарбу. Изучена задача о периодических решениях класса систем нелинейных дифференциальных уравнений, линейная часть которых экспоненциально дихотомична и имеет периодические коэффициенты. На основе установленного критерия экспоненциальной дихотомии доказаны теоремы о возмущении для экспоненциальной дихотомии для линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, о существовании периодических решений рассматриваемого класса систем дифференциальных уравнений, об устойчивости периодических решений относительно малых возмущений коэффициентов в линейной части и нелинейных членов. Разработан метод синтеза оптимального по расходу ресурса управления линейной системой при действии неизвестного возмущения, получены условия идентифицируемости параметров линейных разностных уравнений и установлена сходимость алгоритмов вариационной идентификации.