Создание аналитико-численных алгоритмов для изучения процессов в механике природных катастроф, механике сплошных сред, термодинамике и квантовой механике, изучение волновых, конвективных, тепловых и фрагментационных процессов в сложных жидкостях и разработка согласованных методов теоретических и экспериментальных исследований механики и термодинамики течений жидкостей на основе системы фундаментальных уравнений.

Одним из объектов исследования в Части I являются закономерности разрушения жидких пленок сложной формы. В частности, теоретически и экспериментально изучены процессы формирования и устойчивости жидких пленок между двумя проволочными рамками эллиптической формы. Продемонстрирована меньшая устойчивость таких пленок по сравнения с пленками на круглых рамках эквивалентной площади. Теоретически исследованы особенности фазовых структур внутренних гравитационных волн возбуждаемых в Мировом океане с учетом наличия фоновых сдвиговых течений. Проведено сравнение результатов расчетов критической температуры и давления бинарной смеси вблизи критической точки на основе уравнения состояния Ван дер Ваальса с экспериментальными данными для ряда смесей. Экспериментально исследован эффект плавающей тонкой упругой пластины на процесс регуляризации разрушающихся стоячих гравитационных поверхностных волн. Продолжено изучение особенностей разложения гидрата метана в газовой и водной средах в условиях термобарической фазовой неустойчивости гидратов метана. В части II представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований течений неоднородных жидкостей. Сформулированы общие требования (принципы) к современной теории течений, допускающие оценку погрешностей, расчетов и наблюдений. Основу теории составляет система фундаментальных уравнений переноса вещества, импульса и энергии, дополненная замыкающими уравнениями состояния для потенциала Гиббса и плотности среды. Система анализируется с учетом условия совместности, определяющего ее ранг и минимальное число функций, составляющих полное решение, которое включает регулярные функции, характеризующие волны, и семейство сингулярных, определяющих лигаменты и вихри. Выполнение условия полноты позволяет решать задачи с физически обоснованными начальными и граничными условиями в форме, допускающей прямое сравнение с экспериментом. Включение в систему потенциала Гиббса позволяет учитывать все известные механизмы переноса энергии: макроскопические (с волнами и вихрями) и микроскопические (диффузионно- диссипативные и прямой передачи внутренней энергии в лигаменты). В качестве примера рассмотрены задачи генерации периодических внутренних волн и сопутствующих лигаментов в линейном и слабонелинейном приближениях. Аналитико-численными методами рассчитана картина обтекания произвольно ориентированной полосы и клина в широком диапазоне параметров, включающем ползучие течения, индуцированные диффузией, и нестационарные вихревые режимы при больших значениях числа Рейнольдса. Расчеты хорошо согласуются с данными эксперимента. Экспериментально впервые в однородной жидкости исследован распад кольцевого вихревого течения за кромкой равномерно вращающегося диска на систему поперечных вихревых петель. Теоретически и экспериментально исследована эволюция газовых полостей и излучаемого ими звука при ударе капель о поверхность жидкости. Впервые в эксперименте измерены текущие объемы отрывающихся от каверны воздушных пузырей, выделены собственно объемные осцилляции и сопоставлены с осцилляциями акустического излучения. Результаты обоих видов осцилляций – объемных и акустических хорошо совпадают по фазе и амплитуде. Впервые выделен механизм возбуждения объемных осцилляций, определяющий начальную (положительную) фазу акустических колебаний. Впервые экспериментально прослежен распад границы области слияния свободно падающей капли, растекающейся по поверхности принимающей жидкости, на семейство тонких струек, скорости которых на порядок превышают скорость капли. В дальнейшем текущие струйки формируют линейчатые или ретикулярные структуры на поверхности жидкости. Основными объектами Части III являются конструктивные асимптотические формулы для решения различных задач математической физики, механики сплошных сред и квантовой механики. Одним из основных объектов в асимптотических конструкциях, описывающих быстроменяющиеся решения линейных уравнений с частными производными, является канонический оператор Маслова на геометрических объектах в фазовых пространствах-- лагранжевых многообразиях. В классической теории канонического оператора предполагается, что такие многообразия- гладкие. С другой стороны, во многих совсем не экзотических задачах появляются не гладкие многообразия. Одно из основных направлений работы по теме посвящено аккуратной конструкции канонического оператора на некоторых негладких лагранжевых многообразий, которые называются «проколотыми» и появляются в эволюционных задачах с локализованными начальными возмущениями. Другое направление связано с аккуратным описанием канонического оператора на паре лагранжевых многообразий, возникающего при решении неоднородных стационарных линейных уравнениях с локализованными правыми частями. Предложенные конструкции применены для построения асимптотических решений в задачах о волнах на воде, возбуждаемых локализованными источниками, а также в задаче об асимптотиках ортогональных полиномов. Еще одно направление исследований связано с выводом новых теоретико-числовых формул, и их использовании для вычисления энтропии для обобщенного Бозе-газа и изучении статистики распространения узких волновых пакетов на метрических графах и гибридных многообразиях.