Системы дифференциальных уравнений с нестандартными граничными условиями, возникающие при моделировании физических, технологических и биологических процессов

Было продолжено исследование краевых и начально-краевых задач сложного теплообмена в системах полупрозрачных тел. Установлена однозначная разрешимость краевых задач сложного теплообмена в системах полупрозрачных тел с кусочно гладкими границами с условиями френелевского отражения и преломления излучения и с условиями диффузного преломления и отражения излучения. Впервые получены результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач для нестационарного уравнения переноса излучения с краевыми условиями френелевского отражения и преломления излучения и с условиями диффузного преломления и отражения излучения. Построены новые дискретные и асимптотические аппроксимации для задачи радиационно-кондуктивного теплообмена в системе теплопроводящих стержней круглого сечения. Были продолжены исследования по построению теории скалярно-векторных краевых задач 3d- векторных полей. Основной результат: 1) краевые задачи, определяемые ядром оператора D, в рамках двойственности пространств Соболева нормально разрешимы по Хаусдорфу; 2) эти же задачи в рамках подпространств, определяемых ядром оператора D, корректно разрешимы в смысле Адамара-Петровского. Доказана разрешимость задачи Бицадзе-Самарского для параболической системы с коэффициентами из класса Гёльдера и из класса Дини в областях с негладкими боковыми границами и нелокальными граничными условиями. Исследована гладкость решения. Установлена классическая разрешимость первой начально-краевой задачи для параболической системы с Дини-непрерывными коэффициентами в полуограниченной области с негладкой боковой границей. Выведены оценки для пространственной производной второго порядка векторного параболического потенциала простого слоя. Установлена единственность классического решения первой начально-краевой задачи в классах Гёльдера для одномерной параболической системы второго порядка с постоянными коэффициентами в полуограниченной области с негладкой боковой границей Продолжены работы по развитию метода частичной асимптотической декомпозиции области для областей, состоящих из массивных частей, соединенных тонкими трубчатыми структурами. Предложены и исследованы новые условия сопряжения в методе частичной асимптотической декомпозиции области для тонких трубчатых областей. Для системы уравнений Стокса были предложены и обоснованы условия сопряжения с возможностью разрыва нормальной компоненты скорости. Метод частичной асимптотической декомпозиции обобщен на случай нестационарного уравнения диффузии, заданного в трехмерной области, содержащей тонкие цилиндрические трубки. Выполнено асимптотическое исследование задачи о контакте тонкой упругой пластины с вязкоупругим слоем. Впервые проведено асимптотическое исследование предельных граничных условий двумерной нестационарной модели контакта тонкой упругой пластины с ньютоновской вязкой жидкостью. Изучена начально-краевая задача для волнового уравнения в тонком слоистом стержне с контрастными плотностью и жесткостью слоев. Изучена задача на собственные значения для возмущенного двумерного резонансного осциллятора с возбуждающим потенциалом, задаваемым нелокальной нелинейностью типа Хартри с гладким потенциалом самодействия Изучена аналогичная задача на собственные значения с потенциалом самодействия, имеющим логарифмическую особенность. Для задачи на собственные значения для двумерного возмущенного резонансного осциллятора с интегральной нелинейностью типа Хартри найдена серия асимптотических собственных значений вблизи верхних границ спектральных кластеров. Найдена квазиклассическая асимптотика собственных значений и собственных функций вблизи нижних границ спектральных кластеров, позволяющая описать расщепление спектра для возмущенного двумерного осциллятора, возмущающий потенциал в котором задается интегральной нелинейностью типа Хартри с кулоновским потенциалом самодействия Все запланированные в рамках проекта исследования проведены. План публикационной активности перевыполнен.