Исследование динамики и стабилизации мобильных сферических роботов на вибрирующей поверхности (2022)

Исследовано качение без проскальзывания уравновешенного динамически несимметричного шара (шара Чаплыгина) по плоскости, совершающей горизонтальные периодические колебания. Показано, что в рассматриваемой системе проекции момента на оси неподвижной системы координат сохраняются. При этом исследование редуцированной системы на фиксированном уровне первых интегралов сводится к анализу трехмерного отображения через период на SO(3). Анализ данного отображения говорит о неинтегрируемости рассматриваемой задачи в общем случае. Найдены частные решения системы, которые являются обобщением перманентных вращений и представляют собой неравномерные вращения вокруг фиксированной в теле и пространстве оси. Также указан частный случай интегрируемости, который после замены времени сводится к классической задаче о качении шара Чаплыгина на нулевой константе площадей. Далее исследовано управляемое движение шара Чаплыгина по плоскости, совершающей горизонтальные периодические колебания. Управление движением шара осуществляется за счет управляемого вращения внутренних гиростатов. Рассмотрены две задачи управления, связанные с построение управлений, реализующих движение по траектории, заданной либо на подвижной плоскости, либо в неподвижной системе координат. Показано, что с помощью постоянного в неподвижной системе координат управляющего момента общую задачу можно свести к задаче управления на нулевом уровне интеграла момента. Доказано, что на нулевом уровне интеграла момента рассматриваемая система является вполне управляемой по теореме Рашевского-Чжоу. Построены алгоритмы управления, при которых шар движется вдоль произвольной заданной траектории. Приведены примеры управлений для качения шара вдоль прямой в произвольном направлении и по окружности, а также для поворота шара на месте с сохранением положения центра масс как относительно подвижной плоскости, так и относительно неподвижной системы координат. Рассмотрена задача о качении сферического робота (бивербол) по плоскости, которая совершает горизонтальные периодические колебания. Сферический робот представляет собой сферическую оболочку, внутри которой закреплено твердое тело. Это тело может вращаться с некоторой угловой скоростью относительно фиксированной в оболочке оси. Для управления движением этой системой мы полагаем, что внутри также установлены роторы, оси которых вращаются вместе с твердым телом. Вращение тела и роторов создает управляющий гиростатический момент, которым можно контролировать движение системы. Для рассматриваемой системы построена математическая модель движения и показано, что уравнения движения допускают векторный интеграл – угловой момент системы относительно точки контакта в проекциях на неподвижные оси. Найдены стационарные движения свободной системы – качения вдоль направления колебаний плоскости с постоянной угловой скоростью. Такие движения могут быть реализованы за счет непостоянной скорости вращения внутреннего тела, которая компенсирует колебания плоскости. Также было рассмотрено управляемое движение данной системы относительно подвижной плоскости. При управлении движением полагается, что внутреннее тело вращается с постоянной скоростью, а управление реализуется за счет вращения роторов. Для этой системы приведен алгоритм определения управляющего момента, который необходим для реализации движения сфероробота вдоль произвольной траектории. В качестве примеров управляемого движения приведены управления для реализации "стояния" на месте, качения вдоль произвольной прямой и вдоль дуги окружности.