Численный анализ динамики растворов и расплавов полимерных материалов в технологиях микро- и наноэкструзии, импульсной печати и напыления

Проект направлен на исследование стационарных и нестационарных течений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости, возникающих в современных технологиях микро- и нано-экструзии, импульсной печати и напыления. В проекте сформулированы математические постановки задач о течении жидкости в экструдере и в каналах печатающих устройств с учётом реологии и микроструктуры полимера, разработаны вычислительные методы для расчёта течений с контролем погрешности, созданы комплексы программ для ЭВМ. В результате применения этих методов и программ удалось провести всесторонний численный анализ течений, обнаружить различные режимы движения жидкости, описать влияние параметров задачи на ключевые характеристики течений и технологических процессов, исследовать процессы возникновения и эволюции больших градиентов и фронтов, а также разрушения ламинарных режимов течения. Для описания реологии полимерной жидкости в проекте использованы соотношения реологической мезоскопической модели Покровского – Виноградова, которые были дополнены уравнением нерелятивистской магнитной гидродинамики, уравнением теплопроводности с диссипативными членами, уравнениями неразрывности и уравнением движения жидкости с учётом вкладов температуры и магнитного поля. На основе этих соотношений выведены системы разрешающих уравнений, описывающие три класса течений: 1) неизотермические стационарные МГД течения в экструдере; 2) неизотермические нестационарные течения типа Пуазейля в каналах с сечениями прямоугольной и эллиптической форм, содержащих нагревательные элементы; 3) нестационарные одномерные течения, подобные по своим качественным свойствам решениям уравнения Бюргерса. Для численного анализа описанных течений предложены алгоритмы, основанные на приближении неизвестных функций полиномами и дробно-рациональными функциями и использующие метод установления, метод коллокации и специальный подход к аппроксимации дифференциальных задач с помощью систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записанных в виде уравнения Сильвестра. Для решения задач в областях сложных форм, таких как область экструдера, разработан метод спектральных элементов. Для решения нестационарных задач дополнительно использованы явные схемы Рунге – Кутты и Дорманда – Принса и неявные методы с линеаризацией уравнений по Ньютону. Проведено обоснование методов: доказаны теоремы об аппроксимации и устойчивости в линейном случае; исследован с гарантированной точностью спектр матриц СЛАУ методов; даны оценки числа операций и затрат памяти; получены оценки погрешности новых приближений, использованных в методах. Разработан метод для исследования процесса возникновения больших градиентов и фронтов у гладких решений рассмотренных задач, приводящего к их разрушению. Метод основан на анализе эволюции особых точек решений в комплексной плоскости. Предложен подход к выводу дифференциальных уравнений, описывающих движение особых точек, а также реализован численный метод, позволяющий рассчитывать траекторию движения особой точки на основе приближения Чебышёва – Паде. Исследование течений полимерной жидкости на основе разработанных методов позволяет заключить, что такие течения принципиально отличаются от движений ньютоновской жидкости. В частности, эффект релаксации полимерных молекул, их ориентация и размеры, зависимость вязкости от температуры существенно влияют на картину течения, на возникновение и движение фронтов и на процесс разрушения режимов течения. Установлено, что, в зависимости от значений безразмерного времени релаксации, у решения может возникать особая точка в комплексной плоскости, которая со временем либо выходит в область решения (это означает разрушение ламинарного течения), либо движется параллельно действительной оси, что приводит к формированию фронтов течения и их дальнейшей эволюции. Рассчитаны количественные и качественные характеристики рассмотренных течений в зависимости от реологических свойств жидкости и других параметров поставленных задач.