Теория и методы исследования эволюционных уравнений и управляемых систем с их приложениями

Целью НИР является изучение качественных свойств, построение численных методов решения, а также развитие методов теории оптимального управления для следующих классов динамических систем: эволюционные включения с максимально монотонными операторами, интегро-дифференциальные и алгебро-дифференциальные уравнения в частных производных, дифференциальные уравнения в пространствах мер. В ходе выполнения этапа НИР 2022 г. были изучены вопросы, относящиеся к G-сходимости последовательности максимально монотонных операторов Немыцкого, определенных на пространстве интегрируемых с квадратом функций, отображающих интервал действительной оси в сепарабельное гильбертово пространство. Доказана теорема существования решения для измеримого процесса выметания с составным возмущением, рассматриваемого в сепарабельном гильбертовом пространстве. Доказано существование решений управляемой системы в частных производных, описывающей динамику фазового перехода между твердым и жидким состоянием нескольких субстанций, находящихся в одном и том же контейнере. Изучался класс обратных задач для динамических систем в пространстве вероятностных мер – задача восстановления нелокального векторного поля, осуществляющего перенос распределения вероятностей, по заданной статистической информации. Для этой задачи построен численный алгоритм спуска по функционалу. Исследована линейно-квадратичная задача оптимального управления континуальным ансамблем структурно идентичных не взаимодействующих динамических систем; разработан нелокальный итерационный метод. Были изучены свойства передаточной матрицы и импульсной переходной матрицы для систем управления-наблюдения, описываемых дифференциально-алгебраическими уравнениями. Разработаны и исследованы две аддитивные сплайн-коллокационные разностные схемы для численного решения линейных многомерных дифференциально-алгебраических систем первого порядка с регулярной структурой характеристического многопараметрического матричного пучка произвольного индекса. Разработан метод дифференциальных включений для неавтономных систем с матрицей при производных. В качестве приложений исследовано асимптотическое поведение решений механических, управляемых на принципе декомпозиции систем и систем с трением, представленных уравнениями Лагранжа 2-го рода. Проведено качественное исследование системы линейных интегро-дифференциальных уравнений, включая системы с тождественно вырожденной в области определения матрицей при старшей производной искомой вектор-функции. Доказана теорема о разрешимости таких систем уравнений. Рассмотрены интегральные уравнения Вольтерра I рода на конечном отрезке в предположении, что ядро и правая часть уравнения достаточно гладкие функции, ядро на диагонали не обращается в ноль, а правая часть в начальный момент интегрирования – обращается. Для задач динамической оптимизации без терминальных ограничений получены условия оптимальности, при которых оптимальная траектория рассматриваемой задачи является минималью присоединенной задачи для фиксированной мажоранты – некоторого решения неравенства Гамильтона-Якоби. Результат формулируется в терминах совместимости этого решения с оптимальной траекторией. Так же предложены основные методы повышения эффективности позиционного спуска по функционалу для гладких и негладких задач оптимального управления. Изучалась задача оптимального управления континуальным ансамблем траекторий с импульсными воздействиями высших порядков – т.н. полиномиальными импульсами. Предложена методика аппроксимации множества достижимости для нелинейной управляемой системы с постоянным запаздыванием. Выполнено тестирование реализованных алгоритмов на ряде модельных и содержательных задач. Проект соответствует: приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в РФ: Транспортные и космические системы; критическим технологиям РФ: Технологии информационных, управляющих, навигационных систем (13).