Аналитические, асимптотические и численные методы построения решений прямых, обратных задач математической физики с различными сингулярностями

В ИММ УрО РАН широко проводятся аналитические и численные исследования прямых и обратных задач математической физики, теории управления с малыми параметрами. Многие задачи являются некорректными, для их решения требуется разработка специальных методов устойчивого численного решения. Объектом исследования являются прямые и обратные задачи математической физики, сингулярно возмущенные задачи математической физики и теории управления c малыми параметрами. Цель работы ‒ разработка аналитических и численных методов решения указанных задач. При проведении работ использовались следующие методы: методы теории некорректных задач и численные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными; оригинальный вариационный подход к построению оптимальных сеток, развиваемый в ИММ УрО РАН; оригинальный метод редукции дифференциальных уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений; построение новых математических моделей процессов теплопереноса в многофазных средах; методы теории дифференциальных уравнений и функционального анализа; методы классической теории оптимального управления, выпуклого анализа и теории двойственности; методы асимптотического анализа, включая метод пограничных функций, метод согласования асимптотических разложений и метод вспомогательного параметра. Методы и подходы, используемые при решении и исследовании задач, развивают традиционные методы или являются новыми. Основные результаты работы состоят в решении следующих задач. Задача о восстановлении неизвестной вязкости в модели течения двухфазной несмешивающейся несжимаемой жидкости по измерению местоположения свободной поверхности течения. Разработка методов и алгоритмов численного моделирования распространения вулканического лавового потока. Разработка и оптимизация алгоритмов генерации трехмерных структурированных сеток в деформированных телах вращения для случаев усложненных конструкций деформирующего тела. Получение точных решений систем уравнений в частных производных методом редукции. Моделирование процессов распространения тепловых полей в многолетнемерзлом грунте от различных инженерных систем, а также в системах с дополнительными источниками тепла. Изучение асимптотических разложений решений задач теории оптимального управления, зависящих от малых параметров, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование асимптотики решения задачи оптимального граничного управления в двусвязной области с различной интенсивностью на участках границы. Исследование сходимости решений вариационных задач с двусторонними ограничениями в переменных областях. Изучение асимптотического поведения вблизи особой точки решения бисингулярной задачи Коши для параболического уравнения с малыми параметрами. Разработка нового подхода к построению разностной схемы метода декомпозиции начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения переноса. Результаты работ имеют значение как для развития математической теории, так и для практического применения.