Численные методы решения краевых задач математической физики и компьютерное проектирование оптимальных сетевых систем

Объектом исследования являются: большие трубопроводные разветвленные сети водоснабжения, а также краевые задачи для нагруженных уравнений дробного порядка, включая многомерные параболические, смешанно-параболические и уравнения соболевского типа. Цель работы – разработка эффективных методов, алгоритмов и программ компьютерного проектирования потоковых сетей высокого ранга оптимальности; исследование и развитие разностных методов решения краевых задач для уравнений в частных производных, включая уравнения диффузии дробного порядка, с переменным направлением времени, многомерные уравнения соболевского типа. Методами исследования являются методы теории уравнений в частных производных второго и более высокого порядков, метод энергетических неравенств, принцип максимума, методы математической физики. В ходе выполнения НИР получены следующие результаты: разработан метод снижения размерности задачи синтеза трубопроводной гидравлической сети, основанный на разделении задачи синтеза на две подзадачи – оптимизацию структуры (трассировки) сети и оптимизацию параметров сети на найденной структуре; исследованы краевые задачи для смешанно-параболических, псевдопараболических уравнений, многомерных параболических уравнений, возникающих при математическом моделировании процессов переноса, фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах, также задачи с интегральным (нелокальным) источником, возникающие при описании функции распределения по массам капель за счёт микрофизических процессов в конвективных облаках; получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для рассмотренных одномерных и многомерных задач, проведены численные эксперименты на тестовых примерах. Полученные результаты могут быть использованы при разработке и численной реализации математических моделей распределенных систем. Результаты по потоковым сетям могут быть востребованы при проектировании оптимальных трубопроводов (нефтепроводы, газопроводы). Результаты важны также для развития методов численного решения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка, уравнений параболического, псевдопараболического и смешанного типов.