Современные методы гидродинамики для задач природопользования, индустриальных систем и полярной механики (FZMW-2020-0008)

Отчет 181 с., 62 рис., 4 табл., 246 источн. Объектом исследования в проекте являются математические модели процессов тепломассопереноса в многокомпонентных и многофазных средах и динамических процессов в системах «деформируемое тело – жидкость». При изучении многофазных сред основной упор делается на исследование задач фильтрации с учетом пороупругости и переменной пористости. Целями проекта являются создание новых математических моделей гидродинамики в рамках теории фильтрации, диффузии–конвекции и гидроупругости, доказательство свойств корректности для вновь созданных и уже существующих математических моделей, выявление качественных свойств решений и построение численных решений. Основные результаты 2022 года состоят в следующем. Проведено исследование трех краевых задач для уравнений, описывающих тепломассоперенос в присутствии импульсных явлений — резких изменений массы (концентрации), температуры, давления и т.п. Строго обоснованы предельные переходы от немгновенных импульсных режимов к мгновенным. Как результат, построены три предельные корректные двухмасштабные эффективные модели, каждая из которых в своей постановке заключает уравнение эволюции решения в инфинитезимальном переходном слое, содержащее полную информацию о профиле импульсной (ударной) нагрузки. Проведено исследование разрешимости регуляризации краевой задачи для уравнений, описывающих пространственные стационарные баротропные течения многокомпонентных многоскоростных сред с достаточно общей формой уравнения состояния для давления и без каких-либо упрощений в вязких членах, кроме физически необходимых. Доказано существование сильных решений регуляризованной краевой задачи. В рамках длинноволнового приближения уравнений Навье–Стокса и переноса тепла проведены исследования течений тонких слоев жидкости с испарением. Получено эволюционное уравнение для определения положения термокапиллярной границы, разработан численный алгоритм его решения, проведены расчеты стекания слоя жидкости по наклонной нагретой подложке в случае умеренных чисел Рейнольдса. Детально исследовано влияние нагрева подложки и учета в условии баланса тепловых потоков затрат энергии на преодоление деформации поверхности термокапиллярными силами на характер течения. В рамках приближения Буссинеска уравнений Навье–Стокса исследованы характеристики режимов двухфазных течений с диффузионным типом массопереноса на границе раздела, изучено влияние интенсивности гравитационного поля, термодиффузионных эффектов, характера температурного и концентрационного режима на границах области на изменение топологии течения, интенсивность испарения и характеристики паросодержания. На основе точных решений уравнений конвекции проведены исследования двухслойных и трехслойных течений с испарением на термокапиллярной границе раздела, включая течения по наклонной подложке с испарением на термокапиллярной границе раздела. Математическое моделирование проведено в предположениях об однородном и неоднородном характере испарения при условии заданного потока газа. Рассмотрена трехмерная задача о распространении колебаний в ледовом покрове, вызванных движением подводного тела, движущегося с постоянной скоростью вдоль замороженного канала прямоугольного сечения. Толщина льда изменяется по линейному закону поперек канала. Задача решается в рамках линейной теории гидроупругости. Введением малых параметров проведен асимптотический анализ уравнений в безразмерной форме и определены случаи, когда линейная теория остается корректной. Получено, что деформации в ледовом покрове сильно зависят от скорости диполя, его траектории, а также от параметра изменения толщины льда. В рамках теории мелкой воды рассмотрена двумерная нестационарная задача о динамике тонкого жидкого слоя в следе после косого удара упругим телом. Для решения задачи используются асимптотические методы. Параметры течения на входе пластины в слой жидкости таковы, что вязкостью и поверхностным натяжением можно пренебречь из-за малых порядков, а эффект гравитации может оказывать влияние на поведение свободной поверхности в главном приближении. Значимость эффекта гравитации достигается за счет увеличения толщины жидкого слоя и замедления скорости удара упругим телом. Для рассматриваемого удара с характерными параметрами задачи получено, что гравитация оказывает разное влияние на толщину возмущенного жидкого слоя в начальной точке удара и непосредственно возле точки контакта упругого тела и жидкости. Предложена математическая модель фильтрации газа в среде с переменной пористостью. В двумерном случае определяющая система уравнений в предположении малости скорости твердой фазы сведена к параболическому уравнению для эффективного давления среды и уравнению первого порядка для пористости. Проведено численное исследование полученной начально-краевой задачи. Исследовано несколько вариантов параметров нагнетания углекислого газа в пласт с малой начальной пористостью. В ходе численных расчетов определены оптимальные варианты нагнетания газа для его хранения в геологической среде в долгосрочной перспективе. Предложена математическая модель движения растворенной соли в тающем снеге. В рамках полученной модели численно решена одномерная задача фильтрации воды и воздуха в тающем снеге, исследовано изменение концентрации соли в тающем снеге. Рассмотрена математическая модель двухфазной фильтрации в твердом скелете с переменной пористостью, которая описывает фильтрацию воды и воздуха в ледовом пороупругом скелете. В двумерном случае рассмотрена фильтрация в тонком слое, получены решения в квадратурах. В модельном одномерном случае исследовано на устойчивость решение системы уравнений. Рассмотрена модель фильтрации жидкости в пороупругом льду. Постановка включает уравнения сохранения масс фаз, закон Дарси, уравнение для эффективного давления и пористости, баланс сил, тепловой баланс, а также учитываются фазовые переходы, приводящие к перераспределению масс. Проведено численное исследование задачи в автомодельных переменных с помощью метода Рунге–Кутты 4-го порядка точности. Доказана теорема теорема существования обобщенного решения одной задачи фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в тонком пороупругом слое. Рассмотрена математическая модель биологической ткани, которая представляет собой многофазную структуру. Ткань состоит по меньшей мере из трех основных компонентов, занимающих соответствующую долю пространства: клеток, внеклеточного матрикса (ECM) и внеклеточной жидкости. Для выведенной системы уравнений при определенных начально-краевых условиях установлен принцип максимума для функций пористости и насыщенности клеток. Обоснован вывод двухмасштабной модели фильтрации двух смешивающихся жидкостей в условиях сильной смесимости в рамках теории двухмасштабной гомогенизации, примененной к уравнениям Навье–Стокса и Кана–Хиллиарда. В качестве применения исследован вопрос анизотропии проницаемости и роль капиллярных эффектов в задачах вытеснения одной фазы с помощью другой.