Математическое моделирование и численные методы решения современных проблем нелинейной оптики и фотоники

В отчетном периоде было проведено исследование лазерных систем с резонатором на основе многосердцевинного световода (MCF - Multi-Core Fiber) с различной структурой расположения сердцевин. Было показано, что единственной перспективной возможностью конструирования таких лазерных систем является применение небольших интегрированных в резонатор участков MCF в качестве устройства синхронизации мод. Установлено, что условием эффективной работы подобного устройства является применение осесимметричных конфигураций MCF. Была предложена математическая модель диссипативного лазера на основе MCF, описывающая динамику диссипативного солитона в многосердцевинном активном волокне с учетом насыщенного усиления сигнала в центральной сердцевине и линейных потерь на периферии. Численное моделирование показало существование устойчивой маломощной генерации в рамках предложенной модели как для аномального, так и нормального MCF. Был разработан эффективный численный алгоритм для моделирования динамики оптического сигнала в многосердцевинных световодах. Метод был обобщен для решения уравнения Гинзбурга-Ландау с учётом воздействия на оптический сигнал устройств пассивной синхронизации мод одновременно с насыщенным усилением и линейными потерями в волокне. Для описания основных характеристик солитона в диссипативном волоконном лазере с нормальной дисперсией предложена распределенная модель, полученная на основе уравнения типа Гинзбурга-Ландау и представляющая собой модель лазерного резонатора с учетом влияния дисперсии, нелинейности, спектральной фильтрации, ненасыщенных потерь и насыщенного усиления, а также насыщающегося поглотителя, выступающего в роли устройства пассивной синхронизации мод. Предложенная математическая модель позволила получить новое устойчивое единственное аналитическое решение. Выполнено исследование влияния нелинейных эффектов на качество передачи сигналов при увеличении числа задействованных мод в режимах сильной и слабой связи. Продемонстрировано, что в режиме сильной связи увеличение числа мод приводит к ухудшению качества передачи данных, а в режиме слабой связи добавление новых мод практически не изменяет коэффициент битовых ошибок. Выполнено сравнение качества передачи данных при распространении оптических сигналов по многомодовым волокнам в различных режимах связи пространственных мод. Было показано, что в общем случае режим слабой связи обеспечивает коэффициент битовых ошибок меньше по сравнению с режимом сильной связи. Было продемонстрировано, что при оптимальных значениях величины стандартного отклонения возмущений показателя преломления качество передачи данных может оказаться лучше, чем в случае режима слабой связи мод. Разработана схема обработки оптических сигналов, основанная на глубоких свёрточных нейронных сетях с комплекснозначной арифметикой и имитирующая метод обратного распространения сигнала. Проведено сравнение разных типов функции активации предложенной схемы и продемонстрировано, что использование символов со всех пространственных мод на нелинейном слое позволяет эффективно компенсировать внутримодовые и межмодовые нелинейные взаимодействия. Разработана компактная безитерационная схема типа предиктор-корректор четвертого порядка точности для двумерного уравнения Гинзбурга-Ландау, а также аналогичная схема второго порядка. Обе схемы исследованы на предмет устойчивости в линейном приближении в смысле выполнения необходимого критерия Неймана. Проведено сравнение построенных схем на ряде тестовых задач при двух типах граничных условий (условий Дирихле и периодических условий) с апостериорным анализом зависимости ошибки и порядка точности от степени детальности сетки. Результаты свидетельствуют о приближении оценок порядка точности в равномерной норме к теоретическим значениям. Разработана компактная схема третьего порядка точности на неравномерной сетке для одномерного уравнения Гинзбурга-Ландау. Проблема нелинейности решена с помощью технологии предиктор-корректор. Имея третий порядок точности в общем случае произвольной неравномерной сетки, схема достигает четвертого порядка точности на квазиравномерных сетках. Аналогично на основе схемы Кранка-Николсон построены разностные схемы на неравномерной сетке, достигающие второго порядка точности в случае квазиравномерных сеток. Для построения адаптивных квазиравномерных сеток использована технология построения сеточных отображений на основе базовых отображений, сгущающих сетку по определенному закону в окрестности нуля единичного отрезка. Характер сгущения регулируется выбором вида сгущающей функции, масштаба и параметра, определяющего долю числа шагов сетки, отображаемых в область больших градиентов. Проведены расчеты тестовой задачи при логарифмическом законе сгущения сетки с фиксированным значением масштаба, решение которой состоит из единственного солитона на невозмущенном фоне, с контролем сходимости реального порядка точности к теоретическим значениям.