Математические проблемы теории стохастических и детерминированных сложных систем, включая системы большой размерности.

В области теории вероятностей получены достаточные условия применимости закона Марченко-Пастура для матриц смежности обобщенного случайного двудольного графа с весами. Доказана сходимость к предельному распределению при минимальных условиях для эмпирической функции распределения циркулянтной симметричной блочной матрицы со случайными блоками большой размерности. Получена система уравнений, описывающая предельное распределение случайных блочных матриц. В области математической физики в рамках гипотезы об упрощении калибровочной группы Стандартной модели с ростом температуры Вселенной при движении к моменту ее рождения в результате Большого взрыва рассмотрен вариант теории, в котором параметр спонтанного нарушения симметрии и поле калибровочного векторного бозона (бозона Хиггса) не преобразуются, т.е. не умножаются на стремящийся к нулю с ростом температуры параметр контракции. В результате лагранжиан стандартной модели представляется в виде слагаемых с разными степенями параметра контракции, что позволяет упорядочить во времени стадии ее развития по мере остывания Вселенной. Эволюция свойств частиц и их взаимодействий выводится из явного вида промежуточных лагранжианов и происходит в естественном порядке от простого к сложному, начиная с планковского масштаба 10^19 ГэВ. Гипотеза согласуется с экспериментальными данными по сечениям рождения бозонов Хиггса, полученными на Большом адронном коллайдере. Алгебраический вариант контракции алгебры Ли sl(2) с использованием нильпотентных образующих использован для единого описания уравнения Лиувилля и Лапласа в представлении нулевой кривизны и связи их решений посредством преобразований Бэклунда. Перманент – это полилинейная функция, являющаяся «симметричным» аналогом определителя. Рассмотрено несколько свойств перманента матриц малых порядков. Решена задача о свободных нелинейных колебаниях колец, подкрепленных нитями. Pассмотрена задача о напряженно-деформированом состоянии колеса со спицами, находящегося под действием силы приложенного к оси колеса. Исследовано влияние поперечной нагрузки на устойчивость сжимаемого продольной силой стержня В области теории управления рассмотрена задача субоптимальной стабилизации объекта с дискретным временем, неопределенностями по выходу и управлению и ограниченным внешним возмущением. Коэффициенты авторегрессионной номинальной модели, коэффициенты усиления неопределенностей, норма и смещение внешнего возмущения предполагаются неизвестными. Показателем качества служит наихудшая асимптотическая верхняя граница модуля выхода объекта. Решение задачи в условиях неидентифицируемости всех неизвестных параметров базируется на методе рекуррентных целевых неравенств и оптимальном онлайн оценивании, в котором показатель качества задачи управления служит идентификационным критерием. Предложена нелинейная замена неизвестных параметров возмущений, сводящая задачу оптимального онлайн оценивания к задаче дробно-линейного программирования. Работоспособность адаптивного субоптимального управления подтверждается результатами численного моделирования. Все полученные результаты носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития соответствующих направлений.