Новый эффективный в широком диапазоне частот метод решения задач колебания и устойчивости элементов конструкций

В рамках проекта был проведен ряд исследований, направленных на обобщение метода спектральной динамической жесткости как по форме используемого элемента, так по области применения. Данные обобщения во многом являются определяющими для превращения метода динамической жесткости из частного средства вибрационного анализа конструкций в универсальный инструмент математического моделирования наподобие метода конечных элементов. Так как метод динамической жесткости, в отличие от метода конечных элементов, оперирует с точными решениями уравнения колебаний (или системы уравнений для уточненных теорий), то полученное аналитическое описание элемента оказывается достоверным и эффективным при возрастании частоты колебаний. В частности, используя подход метода суперпозиции, получено новое аналитическое представление решения для задач колебаний треугольной пластины в случае двух основных типов граничных условий (защемленные края и полностью свободные края пластины). В отличие от известных подходов к решению данной задачи, использующих вариационный подход, каждый член построенного решения в форме ряда точно удовлетворяет дифференциальному уравнению колебаний. Из граничных условий выведены соответствующие бесконечные системы линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Получены аналитические выражения для всех характеристик установившихся колебаний треугольной ортотропной пластины при произвольных граничных условиях. Представленное решение позволяет построить спектральную динамическую матрицу жесткости для элемента в форме ортотропной треугольной пластины. Анализ первой краевой задачи (с заданными на границе смещениями) позволяет найти зависимость между неопределенными коэффициентами в общем решении и коэффициентами разложений в ряд Фурье граничных смещений, а второй граничной задачи зависимость между теми же коэффициентами в общем решении и коэффициентами разложений в ряд Фурье граничных моментов и сил. Таким образом, оказывается возможным исключить из рассмотрения неопределенные коэффициенты в представлении общего решения, и явно записать связь между коэффициентами Фурье граничных смещений и сил, что собственно и дает спектральную динамическую матрицу жесткости. Результаты численного моделирования показывают, что для обеспечения достаточной точности приходится брать не менее 24 членов в представлении решения в низком и среднем диапазоне частот. Далее, впервые разработан алгоритм исследования флаттера и аэродинамической устойчивости для составных ортотропных пластин. В линейном приближении решение задачи ищется согласно методу Галеркина по базису из собственных форм составной пластины в вакууме. Заметим, что сходимость метода и точность полученных результатов во многом зависят от точности построения собственных форм пластины в вакууме, которую обеспечивает метод спектральной динамической жесткости. Аналитическая форма представления данных собственных форм позволяет точно вычислить интегралы, присутствующие в методе Галеркина. Следуя данному подходу, краевая задача сводится к однородной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой зависят от физико-механических и геометрических параметров. Частотный параметр задачи входит в систему линейно, что при редукции бесконечной системы позволяет свести ее исследование к проблеме определения собственных чисел и векторов несимметричной матрицы. Показано, что первых 16 собственных форм оказывается достаточно для сходимости метода. Приведены примеры численной реализации, на основе полученного решения проводились исследования зависимости критической скорости потери устойчивости от свойств материала составной пластины и ее геометрии. В рамках проекта разработана новая модификация метода спектральной динамической жесткости, в рамках которой элемент описывается значениями граничных кинематических и силовых характеристик ортотропной пластины в некоторой выбранной системе граничных узловых точек. Переход от спектральной формулировки динамической жесткости для элемента к формулировке в выбранных точечных узлах предлагается осуществить при помощи метода наименьших квадратов. Такая связь между конечными последовательностями может трактоваться как дискретное преобразование Фурье, для данного типа дискретного преобразования Фурье впервые получены точные формулы прямого и обратного перехода. Таким образом, удается линейно связать значения граничных кинематических характеристик пластины (прогибы и углы поворота) и силовых характеристик (моменты, сдвиговые силы) в данной системе узловых точек. Все характеристики пластины выражаются на основе общего решения уравнения колебаний Киргхофа - Лява, построенного в форме суммы тригонометрических рядов на первом году выполнения проекта. Заметим, что данное решение тождественно удовлетворяет уравнению колебаний. Неопределенные коэффициенты тригонометрических рядов в общем решении можно использовать для выполнения заданных условий в системе узловых точек. В частности, на основании треугольника условия в узлах предлагается выполнить при помощи перехода к дискретному преобразованию Фурье, аналогично построению динамической матрицы жесткости в узлах прямоугольной пластины. На боковых сторонах соответствующие уравнения выводятся на основе метода наименьших квадратов.