Аналитические, асимптотические и численные методы построения решений прямых, обратных задач математической физики с различными сингулярностями

В ИММ УрО РАН широко проводятся аналитические и численные исследования прямых и обратных задач математической физики, теории управления с малыми параметрами. Многие задачи являются некорректными, для их решения требуется разработка специальных методов устойчивого численного решения. Объектом исследования являются прямые и обратные задачи математической физики, сингулярно возмущенные задачи математической физики и теории управления c малыми параметрами. Цель работы – разработка аналитических и численных методов решения указанных задач. При проведении работ использовались следующие методы: - методы теории некорректных задач и численные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными; - оригинальный вариационный подход к построению оптимальных сеток, развиваемый в ИММ УрО РАН; - оригинальный метод редукции дифференциальных уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений; - построение новых математических моделей процессов теплопереноса в многофазных средах; - методы теории дифференциальных уравнений и функционального анализа; - методы классической теории оптимального управления, выпуклого анализа и теории двойственности; - методы асимптотического анализа, включая метод пограничных функций, метод согласования асимптотических разложений и метод вспомогательного параметра. Методы и подходы, используемые при решении и исследовании задач, развивают традиционные методы или являются новыми. Основные результаты работы состоят в решении следующих задач. Исследование прямых и обратных задач для математической модели растекания вязкой неоднородной несжимаемой жидкости под действием гравитационных сил Разработка методов и алгоритмов численного моделирования распространения вулканического лавового потока. Разработка и оптимизация алгоритмов генерации трехмерных структурированных сеток в деформированных телах вращения для случаев усложненных конструкций деформирующего тела. Получение точных решений систем уравнений в частных производных методом редукции. Моделирование процессов распространения тепловых полей в многолетнемерзлом грунте от различных инженерных систем. Изучение асимптотических разложений решений задач теории оптимального управления, зависящих от малых параметров, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование асимптотики решения задачи оптимального распределенного управления в плоской строго выпуклой области с гладкой границей и малым параметром при одной из старших производных эллиптического оператора. Исследование сходимости решений вариационных задач с двусторонними ограничениями в переменных областях. Исследование асимптотики решения параболического уравнения типа Гамильтона – Якоби, определяемого простой краевой особенностью. Изучение асимптотического поведения экспоненциального интеграла, в котором фазовая функция имеет вид специальной деформации ростка гиперболической унимодальной особенности. Построение улучшенной разностной схемы для задачи Коши для регулярного уравнения переноса, сходящейся в равномерной норме со вторым порядком скорости сходимости. Результаты работ имеют значение как для развития математической теории, так и для практического применения.