Современные методы гидродинамики для задач природопользования, индустриальных систем и полярной механики.

Объектом исследования в проекте являются математические модели процессов тепломассопереноса в многокомпонентных и многофазных средах и динамических процессов в системах «деформируемое тело – жидкость». При изучении многофазных сред основной упор делается на исследование задач фильтрации с учетом пороупругости и переменной пористости. Целями проекта являются создание новых математических моделей гидродинамики в рамках теории фильтрации, диффузии–конвекции и гидроупругости, доказательство свойств корректности для вновь созданных и уже существующих математических моделей, выявление качественных свойств решений и построение численных решений. Настоящий отчет является заключительным по теме «Современные методы гидродинамики для задач природопользования, индустриальных систем и полярной механики», по которой были представлены отчеты по этапам 2020, 2021 и 2022 годов. Основные результаты 2023 года состоят в следующем: Проведено исследование начально-краевой задачи для пространственно одномерного псевдопараболического уравнения Осколкова с нелинейным слагаемым конвекции и линейным слагаемым абсорбции с учетом импульсной абсорбции — резкого падения давления, скорости и т.п. — в начале процесса. В приложениях одномерное уравнение Осколкова моделирует, например, транспорт нефти и нефтепродуктов по трубопроводу или движение автотранспорта по дороге с учетом возможности обгона. В рамках исследования строго обоснован предельный переход от немгновенного импульсного режима к мгновенному. Как результат, построена корректная эффективная модель, заключающая в своей постановке уравнение эволюции решения в инфинитезимальном начальном слое, содержащее полную информацию о профиле импульсной абсорбции (поглощения). Проведено исследование разрешимости краевой задачи для уравнений, моделирующих пространственные стационарные баротропные течения сжимаемых вязких многокомпонентных сред с достаточно общей формой уравнения состояния для давления. Доказано существование слабых решений исследуемой краевой задачи без какихлибо упрощающих предположений о структуре матриц вязкостей, кроме стандартных физических требований положительной определенности. Изучены характеристики установившихся конвективных течений жидкости и спутного потока газа в плоском горизонтальном канале в условиях неоднородного испарения диффузионного типа. Для описания течений применяется частично-инвариантное точное решение уравнений термоконцентрационной конвекции в рамках аппроксимации Обербека–Буссинеска. Данное решение, построенное как решение задачи испарительной конвекции с граничными условиями Дирихле на внешних стенках канала, описывает локальный сценарий конвекции на рабочем участке определенной длины протяженного канала. На примере системы «HFE-7100–азот» исследовано влияние продольного и поперечного перепадов температуры на структуру полей скорости и температуры и на характеристики паросодержания в газовом слое. На основе уравнений Обербека–Буссинеска, дополненных уравнением диффузии для описания переноса пара в газовой среде, проведены численные исследования эволюции поверхности раздела и течений в кювете. Проведен анализ характеристик массо-переноса на термокапиллярной границе раздела за счет испарения и паросодержания в газовом слое. Описаны переходные режимы ячеистой конвекции со сложной конфигурацией течений в системе «бензин–воздух», формирование тепловых и концентрационных структур и термокапиллярный отклик границы раздела при комбинированном нагреве внешних стенок. В рамках длинноволнового приближения изучен процесс течения вязкой несжимаемой жидкости по наклонной подложке на основе классических уравнений конвекции и обобщенных условий на границе раздела. Проведен параметрический анализ задачи в случае больших чисел Рейнольдса. На основе постановки о периодическом стекании тонкого слоя численно изучено влияние характера нагрева наклонной подложки, угла наклона и гравитационных эффектов на характер течения. Выявлены эффекты уменьшения толщины слоя при возрастании угла наклона подложки, снижение скорости испарения жидкости при уменьшении уровня гравитации и возрастание интенсивности испарительных процессов при неоднородном нагреве подложки. На основе точных решений типа решения Остроумова–Бириха проведено математическое моделирование конвективных течений при неоднородном и однородном характере испарения на границе раздела в случае, когда двухслойная система заполняет горизонтальный или наклонный канал, соответственно. На примере двухслойных систем «HFE-7100–азот», «HFE-7100–воздух», «бензин–азот» исследовано влияние граничного теплового режима на структуру полей скорости и температуры, массовую скорость испарения и паросодержание в газовой фазе. Проведены классификация течений, анализ течений и условий температурной стратификации. Представлены анализ области применимости точных решений и сравнение с экспериментальными данными. Рассмотрена начально-краевая задача для системы одномерного движения вязкой жидкости в деформируемой вязкой пористой среде с проницаемыми границами. При этом, исходная система уравнений в переменных Лагранжа сведена к одному уравнению третьего порядка для функции пористости. С помощью теоремы Тихонова–Шаудера о неподвижной точке доказана локальная теорема существования и единственности задачи в классах Гёльдера в случае несжимаемой жидкости. Установлен также физический принцип максимума функции пористости. Рассмотрена математическая модель совместного движения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в пороупругой среде. Данная модель является обобщением классической модели Маскета–Леверетта, в которой пористость считается заданной функцией пространственной координаты. В основе изучаемой модели лежат уравнения сохранения массы жидкостей и пористого скелета, закон Дарси для жидкостей, учитывающий движение пористого скелета, формула Лапласа для капиллярного давления, реологическое уравнение для пористости типа Максвелла и условие равновесия «системы в целом». В приближении тонкого слоя исходная задача сведена к последовательному определению пористости твердого скелета и его скорости, а затем выведена эллиптико-параболическая система для «приведенного давления» и насыщенности смачивающей фазы. В связи с вырождением на решении уравнений системы ее решение понимается в обобщенном смысле. Доказательство теоремы существования проведено в четыре этапа: регуляризация задачи, доказательство физического принципа максимума для насыщенности, построение галеркинских приближений, предельный переход по параметрам регуляризации на основе метода компенсированной компактности. Рассмотрена математическая модель биологической ткани. Модель состоит из уравнений сохранения массы с учетом фазовых переходов, обобщенных законов Дарси для каждой из двух фаз и уравнения диффузии для питательных веществ. Переход к автомодельной переменной типа «бегущей волны» сводит исходную нелинейную задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, одно из которых вырождается на искомом решении. Доказана теорема существования слабого решения и установлено свойство конечной скорости распространения возмущений. Рассмотрена математическая модель биологической ткани, которая представляет собой многофазную структуру. Ткань состоит из трех основных компонентов, занимающих соответствующую долю пространства: клеток, внеклеточного матрикса (ECM) и внеклеточной жидкости. В модели учитывается наличие питательных веществ в ткани. Исходная система уравнений сводится к двум уравнениям для насыщенности и концентрации питательных веществ. В одномерном случае проведено численное исследование математической модели биологической ткани с учетом деформации внеклеточного матрикса и поступления питательных веществ в ткань. Предложена математическая модель фильтрации газа в среде с переменной пористостью. В трехмерном случае, определяющая система уравнений в предположении малости скорости твердой фазы сведена к параболическому уравнению для эффективного давления среды и уравнению первого порядка для пористости. Проведено численное исследование полученной начально-краевой задачи. Исследовано несколько вариантов параметров нагнетания углекислого газа в пласт горной породы. В ходе численных расчетов определен оптимальный вариант нагнетания газа для его хранения в геологической среде в долгосрочной перспективе. Исследована математическая модель замерзания полностью насыщенного водой грунта. В рамках рассматриваемой модели построен конечно-разностный алгоритм и выполнена серия численных экспериментов для одномерной задачи промерзания грунта, исследовано изменение водонасыщенности и температуры. Результаты численных экспериментов хорошо согласуются с лабораторными данными. Используя экспериментальные данные из литературных источников, проведена верификация коэффициента теплопроводности насыщенного водой грунта. Проведен численный анализ стационарной трехмерной задачи изменения концентрации твердых частиц грунта, попавших в реку во время проведения работ по расчистке русла выше по течению. Учтено изменение глубины реки. Исследована математическая модель промерзания водонасыщенного грунта. В рамках рассматриваемой модели численно решена одномерная задача замерзания воды в грунте, исследовано изменение водонасыщенности и температуры. Проведена верификация модели на экспериментальных данных из литературных источников. Для плоских течений приведены результаты численного анализа уравнений фильтрации сильно смешиваемых жидкостей, полученных на основе двухмасштабной гомогенизации уравнений Навье–Стокса и Кана–Хиллиарда. Показано, что в общем случае тензор проницаемости является анизотропным. Для одномерных течений исследована динамика смесимости и показано, что вытеснение одной фазы с помощью закачки другой фазы может происходить даже при отсутствии перепада давления в образце. Рассмотрена трехмерная задача о распространении колебаний в ледовом покрове с линейно изменяющейся толщиной, вызванных поступательным колебанием подводного тела. Тело моделируется осциллирующим диполем, который генерирует поток и давление, соответствующие действию жесткой сферы, радиус которой намного меньше, чем ширина и глубина канала. Осцилляции происходят за счет изменения скорости диполя и соответственно его интенсивности, при этом радиус остается постоянным. Получено, что прогибы льда сильно зависят от положения диполя в канале. Тестовые расчеты показали, что при приближении диполя вдоль вертикальной оси (от дна канала вверх) к ледовому покрову, прогибы льда значительно увеличиваются в центре канала, где его толщина имеет наименьшее значение. А при приближении диполя к стенкам канала прогибы уменьшаются у той стенки, к которой приближается диполь, в силу того, что толщина льда у стенок канала больше, чем в центре. Также получено, что в случае линейного изменения толщины льда прогибы льда увеличиваются в месте наименьшей толщины льда (вдоль центральной линии канала) и уменьшаются на стенках, где толщина льда является наибольшей. Решена задача о динамике тонкого жидкого слоя в следе за ударом упругим телом по этому слою с учетом гравитации. С использованием асимптотических методов получены аналитические формулы для горизонтальной и вертикальной скоростей приближении и первой поправке к нему. Было получено, что для определенного набора начальных данных в тонком слое жидкости могут образовываться вертикальные струи, т.е. участки, на которых толщина жидкого слоя начинает неограниченно расти. Аналитические формулы для гидродинамических характеристик слоя показывают, что будет расти как главное, так и первое приближения. В области возникновения струи введены локальные растянутые переменные, выраженные через малый параметр σ. Анализ решения в растянутых переменных показал, что малый параметр σ связан с основным малым параметром ε, описывающим отношение начальных вертикальной и горизонтальной скоростей удара. Главное приближение и первая поправка имеют один порядок при σ = ε 1/5. После введения данного отношения решения в растянутых переменных для исходных функций не будут зависеть ни от каких параметров, за исключением поправки на гравитацию, которая имеет порядок O(σ6β2), где β — безразмерный параметр, описывающий влияние гравитации. Важнейшие результаты за 2020-2023 годы: • Проведено построение и обоснована корректность класса новых постановок начально-краевых задач для импульсных параболических и псевдо-параболических уравнений, имеющих приложения в описании процессов диффузии–конвекции–реакции с быстропротекающими эффектами производства или абсорбции массы (концентрации) или тепла. • Доказано существование слабых обобщенных решений трехмерной краевой задачи для уравнений, моделирующих пространственные стационарные баротропные течения сжимаемых вязких многокомпонентных сред с достаточно общей формой уравнения состояния для давления. При этом не вводились какие-либо упрощающие предположения о структуре матриц вязкостей, кроме стандартных физических требований положительной определенности. • В рамках теории фазового поля методом теории гомогенизации построены новые эффективные макроскопические модели подземной фильтрации двух смешивающихся жидкостей в случаях сильной и слабой смешиваемости. Процедуры гомогенизации и апскейлинга (разделения масштабов) строго обоснованы. • На основе новых точных решений, описывающих установившиеся течения в двухи трехслойных системах жидкостей и газов с учетом испарения на термокапиллярных границах, изучены характеристики течений с различными типами граничных условий для температуры и концентрации пара в предположении о неоднородном либо однородном характере испарения. Впервые исследованы критические характеристики устойчивости течения в зависимости от интенсивности термодиффузионных эффектов. Проведен анализ области применимости точных решений. • В рамках двусторонней математической модели проведены численные исследования нестационарных течений с испарением в системе жидкость-газ, заполняющей кювету, в условиях локального и комбинированного нагрева. Проведен анализ переходных режимов ячеистой конвекции, эволюции и термокапиллярного отклика границы раздела. Построено длинноволновое приближение уравнений конвекции и условий на свободной границе, обобщенных для учета испарения. В рамках задачи о периодическом стекании тонкого слоя численно изучено влияние угла наклона, характера нагрева подложки и гравитационных эффектов на особенности течений при умеренных и больших числах Рейнольдса. • Исследована задача о захоронении углекислого газа в среде с переменной пористостью в двумерной и осесимметричной постановках. Выполнено численное исследование задачи закачки углекислого газа в вязкоупругую породу. Экспериментально определены порядки равномерной сходимости по пространственным и временной переменным. Численные расчеты производились для случаев с различными скоростями нагнетания газа и на различных глубинах расположения источника закачки. В ходе численных экспериментов определены оптимальные параметры нагнетания газа для его хранения в геологической среде в долгосрочной перспективе. • Рассмотрена начально-краевая задача для системы одномерного неизотермического движения вязкой жидкости в деформируемой вязкой пористой среде. Доказана локальная теорема существования и единственности решения задачи для случая сжимаемой жидкости. В случае несжимаемой жидкости доказана теорема о глобальной разрешимости по времени в классах Гёльдера. • Построены математические модели: тепломассопереноса в тающем снеге и движения растворенной соли в тающем снеге. В рамках полученных моделей численно решены одномерные задачи фильтрации воды и воздуха в тающем снеге, исследовано изменение пористости и водонасыщенности снега. Численные эксперименты позволили оценить влияние растворенной соли на фазовый переход. Используя экспериментальные данные из литературных источников, проведена верификация математических моделей, коэффициента теплопроводности снега и эмпирической зависимости температуры замерзания от солености воды. • В рамках линейной теории гидроупругости проведено исследование краевых задач движения внешних нагрузок, в том числе и подводных тел, вдоль ледяного покрова в прямоугольном замороженном канале. Проведен анализ напряженнодеформированного состояния ледяного покрова при движении парных нагрузок и поступательном движении/осцилляциях погруженного тела. Получены патенты на изобретения «Устройство для разрушения ледяного покрова» (2023) и «Способ разрушения ледяного покрова» (2021). Изобретения относятся к области судостроения и ледокольным работам, в частности к подводным судам, разрушающим ледяной покров резонансными гидроупругими волнами. В рамках выполнения проекта состоялись успешные защиты с присуждением ученых степеней трех кандидатских и одной докторской диссертаций и подготовлена кандидатская диссертация, защита которой планируется в 2024 году. Конкретные результаты по подготовке и защите диссертаций состоят в следующем. 24 декабря 2019 года успешно прошла защита кандидатской диссертации Шишмарева Константина Александровича «Поведение ледового покрова канала под действием движущейся внешней нагрузки» (диссертационный совет Д 003.054.04). Приказ о выдаче диплома к.ф.-м.н.: №748/нк от 26.11.2020 г. (Диплом: серия КАН, № 012023.) 21 декабря 2021 года успешно прошла защита кандидатской диссертации Неверова Владимира Валерьевича «Модели гранулированных микрополярных жидкостей» (диссертационный совет Д 003.054.04). Приказ о выдаче диплома к.ф.-м.н.: №455/нк от 29.04.2022 г. (Диплом: серия КАН, № 022865.) 28 декабря 2021 года успешно прошла защита кандидатской диссертации Сибина Антона Николаевича «Моделирование движения двухфазных смесей в пористых средах с переменной пористостью и с учетом фазовых переходов» (диссертационный совет Д 003.054.04). Приказ о выдаче диплома к.ф.-м.н.: №785/нк от 01.07.2022 г. (Диплом: серия КАН, № 024112.) 31 мая 2022 г. успешно прошла защита докторской диссертации Прокудина Дмитрия Алексеевича «Глобальные теоремы существования для уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред» (диссертационный совет Д 003.054.04). Приказ о выдаче диплома д.ф.-м.н.: N 1261/нк от 14.10.2022. (Диплом: серия ДОК, № 004070.) В период исполнения проекта постоянным участником команды проекта Рудольфом Александровичем Вирцем подготовлена и в настоящий момент проходит предзащитные мероприятия кандидатская диссертация на тему «Численное и аналитическое исследование математических моделей движения жидкостей и газов в пористой среде» (специальность: 1.1.9 - Механика, жидкости, газа и плазмы). Защита диссертации планируется в 2024 году.