Развитие методов математического моделирования распределенных систем и соответствующих методов вычисления

Объектом исследования являются математическое моделирование распределенных систем и соответствующих методов вычисления в различных областях приложений математики. Цель работы – разработка и развитие методик применения математического моделирования распределенных систем и соответствующих методов вычисления в различных областях приложения. В 2023 году Отдел прикладной математики и информатики (ОПМИ) совместно с Сургутским филиалом ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН продолжал работы по государственной программе НИР для ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН. Основным направлением работ является математическое моделирование в различных областях приложений математики. Основанием для выполнения исследований является тема государственного задания фундаментальных научно-исследовательских работ: 1021060909180-7-1.2.1 (FNEF-2022-0007). Коллектив исполнителей состоит из специалистов высокого уровня в различных областях прикладной и фундаментальной математики. В авторском коллективе участвуют, как сотрудники ОПМИ, так и специалисты других подразделений ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН, работающие в области математического моделирования. Целью работ по данной теме является применение современных математических методов в актуальных областях приложений. Отчет основан на материалах 50 публикаций его исполнителей в 2023 году, приведенных в списке литературы. Основная часть отчета содержит материал 26 работ, входящих в основные индексы научных публикаций. Структура публикаций: 26 научные работы, из них 17 - Scopus и 12 - Web of Science. Дополнительные публикации: 24 работы. В ходе выполнения НИР в 2022-2023 г.г. получены следующие основные фундаментальные научные результаты: 1. Математическая физика. a) Проведено обобщение на комплексную размерность 2 теории голоморфных отображений Римановых поверхностей на торические многообразия. Это представляет собой развитие 4-мерной квантовой теории поля. b) Предложена математическая модель смысла информации, позволяющая учитывать его при моделировании информационного взаимодействия сложных систем. Предложена релятивистская модель статистической физики на основе статистики микросостояний в четырёхмерных областях пространства-времени. c) Получен критерий разреженности ленточных матриц произвольного порядка в терминах данных обратной спектральной задачи для соответствующих им несамосопряжённых операторов. Это представляет собой заметный вклад в теорию т. н. неполных обратных задач. Для ряда нелинейных динамических систем (нелинейных цепочек) получено описание преобразования Бэклунда-Миуры между ними в терминах спектральных данных соответствующих им операторов. 2. Представления групп и функциональный анализ a) Получены критерии непрерывности локально ограниченных автоморфизмов, непрерывных вложений и конечномерных представлений некоторых специальных классов групп Ли. Получено полное описание конечномерных псевдопредставлений связных групп Ли. В частности, установлено, что группа Лоренца не имеет нетривиальных псевдопредставлений, а ее ближайшая родственница, универсальная накрывающая группы унимодулярных матриц второго порядка с вещественными элементами, имеет нетривиальные псевдопредставления, даже одномерные. Эти объекты не были известны ранее. Получено полное описание локально ограниченных псевдохарактеров на почти связных группах Ли. Разработан алгоритм решения обратной спектральной задачи для несамосопряжённых ленточных операторов специального типа с целью его применения к интегрированию конечных (в том числе неабелевых) цепочек Богоявленского. 3. Теория особенностей и задачи теории управления a) Фронт плоской субримановой структуры на распределении Энгеля приближен в окрестности несубаналитических особенностей фронтом управляемой системы, интегрируемой в элементарных функциях. Получены асимптотики экспоненциального отображения плоской субримановой структуры на распределении Энгеля. b) Разработан новый роевой алгоритм, основанный на микроскопической модели транспортного потока, обеспечивающий движение агентов без столкновений. 4. Теория вероятности и математическая статистика c) Изучено поведение совокупности процессов выхода гауссовской стационарной последовательности на растущем временном интервале за высокие уровни различной высоты. Доказана сходимость по вариации таких точечных процессов к маркированному пуассоновскому процессу. Решена задача А.Н. Колмогорова о наилучшем приближении распределения Бернулли смесью гауссовского и пуассоновского распределений. Предложено асимптотическое разложение и последовательность сопровождающих законов в предельной теореме Гнеденко для максимумов случайных величин, распределения которых связаны с распределением Гумбеля. Предложены методы оценивания вероятностей разорения в финансовых портфелях вейбулловского типа. d) На основе анализа данных пациенток с постменопаузой исследован характер влияния заместительной гормональной терапии (ЗГТ) на здоровье женщин. Установлено, что ЗГТ минимум на 7 лет тормозит старение костной ткани в проблемных зонах. Построен алгоритм раннего выявления группы с относительно удовлетворительной динамикой истончения маточного рубца (после перенесённого ранее кесарева сечения) в течение беременности и группы высокого риска развития несостоятельного рубца. 5. Биоинформатика. a) Разработана новая классификация метилтрансфераз — белков (ферментов), представляющих собой один из двух обязательных компонентов систем рестрикции-модификации. b) Расмотрена задача математического моделирования функциональных систем организма человека в рамках исследований динамики изменения параметров подсистем с хаотической, самоорганизующейся структурой. c) Разработанные методы математического моделирования на основе дифференциальных уравнений с разрывной правой частью позволяют учитывать процесс самоорганизации динамических подсистем. Задача удержания стационарного состояния базируется на приближении решений к уникальной линии разрыва системы, что позволяет эффективно воспроизводить динамику подсистемы организма человека. 6. Вычислительная математика и системный анализ. a) Разработаны численные алгоритмы с автоматическим выбором шага интегрирования, предназначенные для решения задачи Коши для гамильтоновых систем дифференциальных уравнений общего положения. Алгоритмы основаны на расширении исходного фазового пространства системы с помощью преобразования Зюндмана, с целью сохранения её гамильтоновости. b) Выполнено обобщение формулы Фаа Ди Бруно для вычисления производных высших порядков на случай сложной функции. c) Предложен оригинальный, не основанный на механизме резервирования, подход к повышению надёжности вычислительных систем, работающих в экстремальных условиях эксплуатации (в космосе). 7. Инженерная психология a) Расширены функциональные возможности программного продукта «Оценка и тренировка координации движений верхней конечности человека», что позволило усовершенствовать аппаратно-программный комплекс для диагностики координационных навыков при управлении конечностями, а также тренировки зрительно-моторной координации на основе биологической обратной связи. b) Усовершенствован способ восстановления двигательных функций у пациентов, перенесших инсульт, а также находящихся в реабилитационном периоде после травм с помощью фотохромостимуляции. c) Подготовлена концепция и пилотная реализация инновационного аппаратно-программного комплекса, предназначенного для фотохромотерапии, проводимой через стимуляцию зрительного анализатора человека. 8. Математическое моделирование a) Получен класс точных решений уравнений Навье–Стокса для вихревого течения несжимаемой жидкости. Построено трехпараметрическое семейство решений в шаре, сферических слоях и во всем пространстве R3. b) Исследована структура потенциальных течений несжимаемой жидкости, порожденных гармоническим потенциалом. Представлены результаты трех вычислительных экспериментов: результаты моделирования для встречных потоков одинаковой мощности и сравнение с натурным экспериментом столкновения двух встречных струй, опубликованным Lim T. и Nickels T. в 1992 г. в журнале Nature; результаты моделирования для встречных потоков разной мощности; результаты моделирования для источника и стока одинаковой мощности. c) Предложен оптический метод изучения структуры короткоживущих, нестационарных и неустойчивых образований низкотемпературной плазмы, использующий ее рефракционные свойства. На основе имеющихся наблюдательных данных об оптических свойствах шаровой молнии и решения интегрального уравнения Абеля получены возможные радиальные распределения показателя преломления, концентрации заряженных частиц и температуры. d) Исследована применимость генетических алгоритмов для определения весовых коэффициентов искусственной нейронной сети с одним скрытым слоем. e) Исследована возможность идентификации функций по их графическому образу с использованием сверточных нейронных сетей, а также проблема подготовки исходных данных. f) Разработан новый роевой алгоритм и представлена его реализация для моделирования смешанных транспортных. g) Исследован ряд фундаментальных аспектов, связанных со структурой и математическим описанием искусственных нейронных сетей. Все поставленные цели и задачи выполнены в полном объеме.Полученные результаты по всем направлениям создают эффективный задел для продолжения работ во всем указанным направлениям исследований.