ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И БОЛЬШИМ ПАРАМЕТРОМ (заключительный)

Объект исследования – дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений с бесконечномерным фазовым пространством. Цель работы – разработка новых методов исследования динамики систем с бесконечномерным фазовым пространством, исследование математических моделей прикладных задач. В рамках выполнения работ по проекту получены следующие результаты. Метод сведения изучения релаксационных режимов бесконечномерных систем к изучению динамики специальных построенных конечномерных отображений обобщен на случай уравнений с нелинейностью, имеющей простое поведение на бесконечности и на случай многомерных систем связанных дифференциальных уравнений с запаздыванием, большим параметром и финитной нелинейностью. C помощью этого метода построены релаксационные решения сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, являющихся математическими моделями в задачах радиофизики и биологии. Изучена нелокальная динамика класса нелинейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Эти уравнения с различными типами нелинейностей появляются в медицинских, физических, биологических и экологических приложениях. Ключевое предположение исследования заключается в том, что нелинейная запаздывающая связь умножена на большой параметр. Для уравнений с нелинейностью, имеющей простое поведение на бесконечности, построена асимптотика по большому параметру всех решений уравнения с начальными условиями из широкого подмножества фазового пространства исходной модели. Изучено поведение всех рассматриваемых решений при времени, стремящемся к бесконечности. Доказано, что возможны два типа поведения: (1) решение стремится к константе или (2) после предпериода решение становится циклом. Найдены условия на параметры, фигурирующие в задаче, при которых существуют релаксационные циклы. Для систем дифференциальных уравнений с финитной нелинейностью и для различных видов связей между уравнениями построена асимптотика по большому параметру всех решений систем с начальными условиями из широкого подмножества фазового пространства исходной модели. Изучено поведение всех рассматриваемых решений при времени, стремящемся к бесконечности. Найдены условия, при которых у рассматриваемых систем наблюдается синхронизация и двухкластерная синхронизация. Показано, что динамика изучаемых систем принципиально зависит от вида связи между уравнениями. Задачи этапов 2022-2023 годов выполнены полностью. По результатам НИР, выполненных в 2022-2023 годах, опубликовано 2 научных статьи в журналах, индексируемых в Web of Science и Scopus, 2 научных статьи в сборниках по итогам конференций, входящих в РИНЦ, а также 5 тезисов докладов конференций. Кроме того, результаты исследований были представлены на 6 международных и одной всероссийской научных конференциях. Результаты исследований могут быть использованы как самостоятельные результаты для применения в задачах радиофизики и нейродинамики, а метод может быть обобщен на более широкий класс систем с запаздыванием и большим параметром.