Развитие современных методов математической физики: интегрируемые системы и формализм задачи Римана-Гильберта, спектральный анализ дифференциальных и интегральных операторов, задачи рассеяния и их приложения (промежуточный, этап 1)

Проведено асимптотическое исследование решений цилиндрического нелинейного уравнения КдФ при малых временах. Доказана разрешимость задачи Римана-Гильберта для спектральной обратной задачи для оператора Шредингера с потенциалом в виде суммы полинома второго порядка и быстро убывающей функции. Продолжено изучение асимптотических решений задачи Римана-Гильберта для цилиндрического уравнения Кортевега-де Фриза при малых временах. Осуществлена деформация исходной задачи Римана к задаче Римана поставленной на контурах наибыстрейшего спуска и найдена формула для глобального параметрикса задачи. Методом Фокаса были найдены коэффициенты рассеяния рэлеевских волн на границе четверть-плоскости. Продолжено развитие асимптотического метода задачи Римана для определителей сумм теплицевых и ганкелевых матриц. Получены разностные уравнения для определителей суммы теплицевой и ганкелевой матриц, которые позволяют трансформировать, полученные ранее асимптотики решений соответствующих задач Римана, в асимптотики самих изучаемых определителей. Продолжен анализ ранее полученного специального решения системы Калоджеро-Пенлеве, чья тау-функция предлагается для описания бета-распределения Трэйси – Видома для первого, не классического значения параметра бета=6. Была установлена глобальная гладкость упомянутой тау-функции при определенных дополнительных предположениях. Исследована асимптотика по расстоянию для собственной функции оператора Шредингера в полуплоскости с сингулярным δ-потенциалом с носителем, сосредоточенным на двух лучах. Оператор такого типа встречается в задачах рассеяния трех одномерных квантовых частиц с точечным парным взаимодействием при некоторых дополнительных ограничениях, а также в задачах дифракции волн в клиновидных и конусовидных областях. С помощью представления Конторовича–Лебедева построение собственной функции оператора сводится к изучению системы однородных функционально-разностных уравнений с характеристическим (спектральным) параметром. Изучены свойства решений такой системы однородных функционально-разностных уравнений второго порядка с потенциалом из специального класса. В зависимости от значений характеристического параметра в уравнениях описаны их нетривиальные решения, собственные функции уравнения. Для этого, использована редукция функционально-разностных уравнений к интегральным с самосопряженным интегральным оператором, который является компактным возмущением матричного аналога оператора Мёлера. Посредством перехода к интегральному представлению Зоммерфельда построена асимптотика по расстоянию собственной функции рассматриваемого оператора Шредингера. Выделены так называемые сингулярные направления, в окрестности которых изменяется характер и скорость убывания собственной функции. Развита математическая теория рассеяния для электромагнитных волноводов при экспоненциальной стабилизации коэффициентов на бесконечности, в т.ч., доказан принцип предельного поглощения, получены формулы для волновых операторов и оператора рассеяния. Разработан единый подход к построению теории рассеяния для целого класса задач, включающего, в частности, задачи теории упругости. Изучены электромагнитные и акустические волноводы в предположении медленной (в т.ч. степенной) стабилизации характеристик заполняющей среды на бесконечности. Построены собственные функции непрерывного спектра, определена матрица рассеяния, сформулирован и обоснован принцип излучения, выведена глубокая асимптотика решений задачи. Наконец, введена расширенная матрица рассеяния, получена ее связь с нерасширенной матрицей, установлен критерий существования ловушечных мод и получены формулы для коэффициентов в глубокой асимптотике решения.