Численно-аналитический и экспериментальный анализ динамического поведения строительных конструкций на основе использования современных реологических моделей

Разработана математическая модель вынужденных колебаний композитных стержневых элементов с учётом нелокального во времени демпфирования материала. Эта модель является гибкой и управляемой и может быть эффективно использована в случаях, когда использование одномерных моделей более эффективно по сравнению с трёхмерным моделированием. В частности, применение такого подхода целесообразно при решении задач оптимизации параметров конструкций, выполненных из композиционных материалов, таких как стеклопластики, углепластики, фибробетоны и др. Поскольку метод конечных элементов является преобладающим численным методом, применяемым при инженерных расчётах и моделировании работы конструкций под нагрузкой, разработанная нелокальная во времени модель демпфирования материала была встроена в алгоритм метода конечных элементов, программно реализована и апробирована на характерных примерах численного динамического расчета конструкций, выполненных из композитных материалов. Нелокальная во времени модель демпфирующих свойств материала построена на основании предположения о том, что демпфирование колеблющейся конструкции в текущий момент времени зависит не только от мгновенных значений скорости изменения деформаций в этот момент времени, но и от значений скоростей изменения деформаций в предыдущие моменты времени. Причем влияние значения скорости изменения деформации в некоторый момент времени тем меньше, чем больше временной промежуток между ним и текущим моментом. Такая модель демпфирования названа в опубликованных при выполнении настоящей работы статьях «демпфированием с памятью». На первом этапе работы решение уравнения движения в конечно-элементной постановке выполнялось методом центральных разностей (по явной схеме). При этом центральная разность в слагаемом уравнения движения механической системы, «отвечающем» за внутреннее демпфирование, была представлена осреднением разности «вперёд» и разности «назад». Слагаемое с разностью «вперёд» было оставлено без изменений, так как, по очевидным причинам, применить к ней интегральный оператор «с памятью» было бы неправомерным. А слагаемое с разностью «назад» было заменено нелокальной во времени моделью демпфирования в материале. Была построена матрица внутреннего демпфирования (демпфирования, вызываемого деформированием материала) из условия стационарности выражения изменения полной энергии деформируемой системы, включающего функцию рассеяния энергии из-за внутреннего трения в материале. Актуальным вопросом при разработке нелокальных моделей свойств материала является определение масштабного параметра, характеризующего степень нелокальности в исследуемом материале. Без разработки методики корректного определения значения этого параметра нелокальную модель невозможно применять при расчётах реальных конструкций. В разработанной при выполнении настоящей работы методике предлагается производить подбор масштабного параметра методом наименьших квадратов по данным натурного или вычислительного эксперимента. Для первоначальной отработки и отладки методики калибровки разработанной модели демпфирования с памятью использовались данные вычислительного эксперимента, полученные при моделировании динамического поведения балочного элемента в верифицированном расчётном комплексе SIMULIA Abaqus. Для этого была разработана модель вынужденных колебаний балки, выполненной из термореактивного винилэфирного стеклопластика I класса, в трёхмерной постановке с учётом ортотропных свойств композитного материала. Калибруемая модель демпфирования с памятью была реализована в одномерной постановке в программном комплексе MATLAB без учёта ортотропных свойств материала. Необходимой точности расчётов позволяет добиться высокая гибкость разработанной нелокальной модели. Результаты, полученные на ее основе, хорошо совпадают с результатами подробного трёхмерного моделирования. А по сравнению с результатами, полученными с использованием локальной классической модели (модели Кельвина-Фойгта), величина ошибки сокращается в пять раз. Для повышения устойчивости, достоверности и гибкости модели нелокального во времени демпфирования произведена модификация численного алгоритма решения уравнения движения изгибаемых элементов методом конечных элементов, причем явная схема заменена на неявную (метод Ньюмарка). Произведен более глубокий анализ допустимости нелокального распределения скоростей по времени. В качестве описания нелокального демпфирования (распределения) рассмотрен нормальный закон распределения, выраженный через функцию ошибок Гаусса. Обоснована сходимость определенного интеграла от функции ядра демпфирования (функции Гаусса) к единице на любом интервале времени, для любого значения отклонения расчетной величины от экспериментальной. В МКЭ доказана сходимость ряда распределённых на интервале времени скоростей к единственному значению скорости в рассматриваемый момент времени. Обоснованы свойства «памяти» нелокальной по времени модели демпфирования (далее модель демпфирования с памятью). Построена управляемая трехпараметрическая численная одномерная модель нелокального во времени демпфирования. Первый параметр управления, характеризует амплитуду колебаний (измеряется в тех же единицах, что и компонента времени). С помощью этого параметра, настраивается высота пика кривой и расстояние от момента изменения кривизны ядра до момента максимума ядра демпфирования, тем самым описывая уровень нелокальности демпфирования. Второй параметр управления, – весовой коэффициент нелокальности, назначает частоту колебаний. Коэффициент нелокальности находится в приделах от 0 до 1 и является безразмерной величиной. С помощью весового коэффициента нелокальности назначается часть нелокального и локального по времени демпфирования. Для длительных колебательных процессов введен дополнительный, третий, параметр управления моделью, ограничивающий период запоминания демпфирования определенной «длиной памяти», свойственной композиту. Третий параметр управления моделью назван мнемоническим параметром нелокального во времени демпфирования. Разработан модуль поиска значений параметра нелокальности демпфирования, весового коэффициента демпфирования и мнемонического параметра демпфирования, основанный на поиске минимального относительного отклонения модельных данных от экспериментальных. Все три параметра управления моделью являются постоянными величинами и не меняются при изменении условий задачи. Была выполнена верификация разработанной в рамках настоящего проекта трехпараметрической нелокальной во времени модели демпфирования материала на основании данных лабораторных испытаний. Для этого в Лаборатории динамики сооружений МГСУ были проведены серии испытаний на ударную нагрузку балочек, выполненных из фибробетона. Балочки были жестко заделаны по концам, значения ускорений, возникающие в середине пролёта от удара в этом сечении, регистрировались одноосными акселерометрами. Так как метод Ньюмарка, используемый для решения уравнения движения в построенной модели, позволяет напрямую определять не только узловые перемещения, но также скорости и ускорения, численное интегрирование для вычисления перемещений по ускорениям, полученным экспериментально, не производилось. Вместо этого калибровка производилась по графикам изменений узловых ускорений во времени. Такой подход позволяет исключить накопление вычислительной ошибки, неизбежное при численном интегрировании. Сравнение результатов, полученных с использованием откалиброванной одномерной модели колебаний балки с нелокальным во времени демпфированием материала, с результатами лабораторных испытаний, показало их хорошее совпадение. В то же время, классическая локальная модель (гипотеза Кельвина-Фойгта) даёт большое расхождение с экспериментальными данными. Следовательно, можно сделать вывод, что нелокальная во времени модель демпфирования материала, применима для моделирования динамического поведения конструктивных элементов, выполненных из материалов со сложной внутренней структурой. При этом она не требует построения ресурсоёмких трёхмерных моделей, так как учёт особенностей поведения материала под нагрузкой в ней реализован за счёт применения положений нелокальной механики. Построена конечно-элементная модель колеблющейся статически неопределимой рамы при действии сосредоточенных и равномерно распределённых внешних сил с использованием модели демпфирования, нелокального во времени. При этом внутреннее трение в материале предполагается зависящим не только от значения скорости деформаций материала рамы в текущий момент времени, но и от значений скоростей деформаций на всей истории колебательного процесса. Убывание влияния временных точек друг на друга при увеличении интервала между ними, то есть степень нелокальности материала, определяется масштабным параметром. Матрица демпфирования конечно-элементной модели рамной конструкции получена из условия стационарности полной энергии деформирования движущейся механической системы. Решение уравнения движения расчётной модели конструкции методом Ньюмарка было реализовано в программном комплексе MATLAB. В качестве примеров численного расчёта рассматривались П-образные рамы с разными пролётами верхнего ригеля, выполненные из винил-эфирного стеклопластика. Разработана методика калибровки реологической модели по результатам экспериментальных исследований динамического поведения конструкций из материалов со сложной физической структурой. Калибровка нелокальной модели демпфирования материала включает в себя определение масштабного параметра, отвечающего за степень нелокальности диссипативных свойств материала методом наименьших квадратов по результатам численного или натурного эксперимента. Методика была отработана на данных численного эксперимента, реализованного в верифицированном расчётном комплексе SIMULIA Abaqus в трехмерной постановке с моделированием ортотропных свойств композитного материала. Была выполнена дополнительная верификация модели колебаний рамных конструкций. Для этого масштабный параметр модели, характеризующий масштаб нелокальности демпфирования в материале определялся на основании данных численного эксперимента с использованием разработанной на втором году методики калибровки. В качестве численного эксперимента, как и ранее, рассматривались колебания твердотельной конечно-элементной модели рамы, построенной с использованием ортотропных свойств материала. Далее, было продемонстрировано, что полученная таким образом величина масштабного параметра является постоянной материала, и нет необходимости определять её каждый раз заново при изменении геометрии конструкции. С этой целью была рассмотрена рама, геометрия которой отличалась от той, для которой была выполнена первоначальная калибровка нелокальной модели, а значение масштабного параметра было принято равным полученному при первоначальной калибровке. Было показано удовлетворительное совпадение результатов, полученных для плоской рамы с применением нелокальной модели с результатами, полученными в комплексе SIMULIA Abaqus в трехмерной постановке с учётом ортотропных свойств материала. Показано, что нелокальная модель калибруется с адекватной точностью для рамы, обладающей сравнительно невысокой первой частотой собственных колебаний. Результаты, полученные с использованием откалиброванной модели демпфирования нелокальной во времени, могут быть использованы в случаях, когда применение детализированных твердотельных моделей является неэффективным. Калибровка нелокальных моделей жестких систем со значительной первой частотой собственных колебаний не позволяет получить требуемый уровень точности аппроксимации данных численного эксперимент. Для расширения области применимости нелокальной во времени модели демпфирования требуется её дальнейшее совершенствование. В частности, для более жёстких конструкций и их элементов, возможный путь решения этой проблемы заключается в учете влияния сдвиговых деформаций. На настоящем этапе исследования выведены основные соотношения модели динамического поведения изгибаемых элементов, построенные на положениях теории С.П. Тимошенко. Построены модели изгиба балки Тимошенко при статических и динамических воздействиях в конечно-элементной постановке. В статической задаче в уравнении равновесия сдвиговая матрица жёсткости конечного элемента выведена из условия стационарности полной энергии сдвиговых деформаций. При этом для вычисления действующих в конструкции поперечных сил используются соответствующие строки матрицы изгибной жесткости и используются линейные функции формы. Из четырех способов вычисления коэффициента сдвига был выбран тот, который в литературе характеризуется наилучшим совпадением с экспериментальными данными. В качестве численного примера была рассмотрена шарнирно-опертая балка, выполненная из фибробетона и загруженная равномерно распределенной нагрузкой. Для оценки корректности построенной математической модели проведено сравнение прогибов балки, полученных с использованием разработанной конечно-элементной модели с результатами, полученными по теории Тимошенко аналитическим путем. Выявлено хорошее совпадение результатов и убывание влияние сдвиговых деформаций на результат по мере увеличения отношения пролёта балки к высоте её поперечного сечения, что также согласуется с теорией. При построении динамической конечно-элементной модели балки Тимошенко сдвиговая матрица демпфирования выводится из условия стационарности полной энергии сдвиговых деформаций. По результатам изучения состояния вопроса, которые пополнялись на протяжение всего срока выполнения проекта, опубликован подробный обзор нелокальных моделей разного типа, применимых для моделирования статического, динамического и наследственного поведения композитных и нано- материалов различного рода. Обзор охватывает нелокальные во времени или пространстве модели упругих и демпфирующих свойств материалов. Прослеживается история развития этих моделей, отмечаются некоторые их характерные особенности, рассматривается область применимости этих моделей. Также в статье подробно описаны результаты работы членов научного коллектива над нелокальной во времени моделью демпфирования в материале, интегрированной в алгоритм метода конечных элементов, полученные в рамках настоящего проекта. За отчётный период разработан комплекс программ в ПК MATLAB, реализующих моделирование динамического поведения композитных конструкций, с учётом нелокальных во времени диссипативных свойств материала, а также калибровку нелокальной модели по экспериментальным данным. Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ «Программа для численного анализа диссипативных свойств балочных элементов конструкций на основе нелокального во времени демпфирования "Nonlocaldampingfe_2023.m"». Разработан алгоритм расчёта динамических задач строительной механики на основании метода конечных разностей различного порядка аппроксимации, в рамках которого дифференциальные операторы 1 и 2 порядка аппроксимированы центральными разностями по стандартной процедуре, а дробные производные в представлении Грюнвальда-Летникова. При этом динамические задачи с начальными условиями решаются с применением неявных схем численного дифференцирования, а задачи с граничными условиями — методом пристрелки с поиском невязки по известным процедурам линейного поиска и метода Ньютона-Рафсона. Решение получающейся системы линейных уравнений относительно неизвестных проводят методом Гаусса, LU-разложением или параллельными решателями в среде MatLab. Проведена оценка адекватности и сходимости разработанного алгоритма на основании сопоставления результатов численного расчёта с аналитическим расчётом для одномассового осциллятора с вязкоупругим подвесом по модели Кельвина-Фойгта или стандартного линейного тела. Разработана математическая модель двухмассовой колебательной системы, у которой первая и вторая массы связаны друг с другом вязкоупругой связью по модели Кельвина-Фойгта, а второй осциллятор связан с основанием используя модель стандартного линейного тела. При этом в модели стандартного линейного тела демпфирующий элемент описан моделью с дробными производными. Используя разработанный алгоритм, решена начальная задача при заданном перемещении или заданной начальной скорости системы при действии гармонической нагрузки на первую массу. Определены законы колебаний первой и второй массы, зависимости передаваемой на основании нагрузки, а также получены значения амплитудно-частотной характеристики системы для различных комбинаций её параметров. Разработана математическая модель колеблющейся невесомой балки постоянного сечения при наличии конечного числа сосредоточенных масс, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга. Решение найдено аналитически методом разложения по собственным функциям, а также численно на основании разработанного алгоритма методом конечных разностей. Задача с граничными условиями решена методом пристрелки. Определены зависимости между кривой прогиба и массами приложенных грузов в зависимости от параметров системы. Разработана математическая модель разрезной балки постоянного сечения, опирающейся на упругое или вязкоупругое основание при наличии концевых опор. При этом параметры основания заданы по модели стандартного линейного тела с демпфированием, описываемой дробной производной. Нагрузка представлена в виде сосредоточенной силы, расположенной стационарно либо перемещающейся по балке с постоянной скоростью. Решение задачи проведено на основании разработанного алгоритма методом конечных разностей. В результате решения задачи определены прогибы балки при действии приложенной нагрузки в разных её частях, а также построены динамические эпюры моментов при нахождении силы в различных её частях. Определены амплитудно-частотные характеристики рассматриваемой системы. Разработана математическая модель бесконечно длинной балки постоянного (переменного) сечения, опирающейся на упругое или вязкоупругое основание. При этом параметры основания заданы по модели стандартного линейного тела с демпфированием, описываемой дробной производной. Нагрузка представлена в виде сосредоточенной силы, расположенной стационарно, а также системы (пары) сил, расположенных на постоянном, при движении вдоль балки, расстоянии друг от друга. Решение задачи проведено на основании разработанного алгоритма методом конечных разностей. В результате решения задачи определены прогибы балки при действии приложенной нагрузки в разных её частях, а также построены динамические эпюры моментов при нахождении силы в различных её частях. Определены амплитудно-частотные характеристики рассматриваемой системы. Получено решение задачи о затухающих линейных колебаниях многослойной балки и многослойной пластинки, слои которых обладают разными физико-механическими и реологическими свойствами и которые опираются на упругое или вязкоупругое основание, используя реологические модели, содержащие операторы дробного порядка. В качестве примера исследована динамическая реакция неоднородной по высоте пластинки, неоднородные свойства которой описываются многослойной моделью, включающей в себя слои с различными демпфирующими свойствами. Такая постановка и разработанный руководителем проекта алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений с дробными производными позволили свести сложную систему, моделирующую динамическое поведение многослойной конструкции, к системе несвязанных осцилляторов, колеблющихся в вязкоупругой среде, демпфирующие свойства которой описываются дробными производными и характеризуются конечным числом времен ретардации (времен запаздывания) и параметров дробности (порядков дробных производных), что значительно упрощает решение поставленной задачи. Предложенный подход позволяет рассмотреть любое количество упругих/вязкоупругих балок или пластин, соединенных между собой вязкоупругими (или упругими) слоями, в случае, когда жесткий контакт между слоями не учитывается. Самым простым случаем является решение задачи о шарнирно опертой упругой пластинке Кирхоффа-Лява или трехслойной пластинке с вязкоупругим внутренним слоем, лежащей на вязкоупругом основании типа Винклера или Пастернака, демпфирующие свойства которых описываются моделями Кельвина-Фойгта или стандартного линейного тела с дробными производными. Получена база фактических данных (зависимостей) поведения вязкоупругих вибродемпфирующих и конструкционных строительных материалов в зависимости от скорости деформирования, внешних воздействий и времени. Для этих материалов определены диапазон линейной работы материала; статический модуль упругости в пределах диапазона работы материала; динамический модуль упругости на частоте 10 и 20 Гц; коэффициент механических потерь путем регистрации действительной и комплексной частей модуля упругости, а также угла сдвига фаз между ними; предел прочности при растяжении; относительная деформации сжатия. Испытания были проведены также на композитных материалах, выполненных из синтетического гранита (гранитная крошка с полимерным отвердителем) и конструкционного бетона классов прочности В30, В50, для которых были определены предел прочности при растяжении / сжатии; статический модуль упругости; коэффициент механических потерь. По каждому материалу зарегистрирована кривая зависимости между приложенной нагрузкой (в том числе динамической) и деформациями материала (или перемещением траверсы испытательной машины или видеоэкстензометра) в диапазоне работы материала. Были выполнены экспериментальные исследования колебаний фундаментов тяжёлого виброактивного производственного оборудования путем проведения натурные динамических и модальные испытаний строительных конструкций несущего каркаса, на который опирается технологическое оборудование при различных режимах его работы, в результате чего определены законы колебания фундаментов оборудования (ускорения, перемещения его элементов), восстановлены значения динамических нагрузок, действующих на фундамент, определены частоты, формы колебаний опорного каркаса и частотно-зависимые параметры демпфирования. Получен репрезентативный набор натурных экспериментальных данных о динамическом поведении строительных конструкций при действии подвижной осциллирующей нагрузки в зависимости от её скорости движения и интенсивности воздействия (или весовой нормы поезда). В рамках данного проекта проведено исследование динамических характеристик колебательных систем, выполненное с применением моделей Кельвина-Фойгта и стандартного линейного тела в представлении Зинера-Ржаницына. Обе модели содержат дробную производную при сомножителе, описывающем демпфирование системы. Определены величины передаточных функций, а также построены графики динамического модуля и тангенса угла потерь для указанных моделей материалов. Представлен алгоритм экспериментального определения динамических характеристик вибродемпфирующих материалов. На основании экспериментально полученной передаточной функции для вспененного полиуретана проведена её аппроксимация аналитическими выражениями для передаточной функции модели Кельвина-Фойгта и стандартного линейного тела в представлении Зинера-Ржаницына. Анализируя результаты аппроксимации, можно сделать вывод о том, что модель Кельвина-Фойгта и стандартного линейного тела с дробными переменными подходят для описания как резонансных, так и зарезонансных режимов поведения вибродемпфирующих материалов, выполненных из вспененного полиуретана. Как показывают результаты экспериментов, для аппроксимации обеими моделями параметр дробности выбран примерно равным 0,7. Это свидетельствует о том, что модели, содержащие дробные производные, позволяют описывать поведение вибродемпфирующих материалов, при этом в последних присутствует “эффект дробности” – поведение материала не является чисто упругим или чисто вязким, а находится где-то между ними. Разработана методика калибровки демпфирующих свойств по экспериментальным данным.