Аналитические, асимптотические и численные методы построения решений прямых, обратных задач математической физики с различными сингулярностями

В ИММ УрО РАН проводятся аналитические и численные исследования прямых и обратных задач математической физики, теории управления с малыми параметрами. Многие задачи являются некорректными, для их решения требуется разработка специальных методов устойчивого численного решения. Объектом исследования являются прямые и обратные задачи математической физики, сингулярно возмущенные задачи математической физики и теории управления c малыми параметрами. Цель работы ‒ разработка аналитических и численных методов решения перечисленных задач. При проведении работ использовались следующие методы: - методы теории некорректных задач и численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных; - оригинальный вариационный метод построения оптимальных сеток, развиваемый в ИММ УрО РАН; - оригинальный «геометрический» метод редукции дифференциальных уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений; - построение новых адекватных математических моделей процессов теплопереноса в многофазных средах с учетом различных физических и климатических факторов; - методы теории дифференциальных уравнений и функционального анализа; - методы классической теории оптимального управления, выпуклого анализа и теории двойственности; - методы асимптотического анализа, включая метод пограничных функций, метод согласования асимптотических разложений и метод вспомогательного параметра; - новые численные методы повышенного порядка точности для решения уравнений математической физики. Методы и подходы, используемые при исследовании задач, развивают классические методы или являются новыми разработками в ходе настоящего этапа НИР. В рамках НИР научным коллективом за отчетный период были получены результаты по следующим направлениям исследований. Изучение некоторых классов прямых и обратных задач для моделей стационарной реакции-конвекции-диффузии. Численное моделирование распространения вулканической лавы по заданному рельефу местности. Разработка алгоритмов построения оптимальных сеток в конструкциях, ограниченных поверхностями вращения. Получение точных решений нелинейных уравнений и систем в частных производных «геометрическим» методом редукции. Численное моделирование и прогнозирование процессов распространения тепловых полей в многолетнемерзлом грунте от различных инженерных систем. Изучение асимптотического поведения решений задач оптимального управления линейной автономной системой с малыми параметрами с ограничением на управление в виде шара и интегральным выпуклым показателем качества. Исследование асимптотики решения бисингулярной задачи оптимального распределенного управления в выпуклой области с малым параметром при одной из старших производных эллиптического оператора. Исследование сходимости решений вариационных задач с двусторонними ограничениями в переменных областях. Изучение критериев существования слабых решений нелинейных эллиптических уравнений при слабых условиях на правую часть. Исследование асимптотического решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с большим начальным градиентом в слабодисперсионном пределе. Построение асимптотики решения уравнения теплопроводности по известной асимптотике начальной функции в трехмерном пространстве. Построение разностной схемы Ричардсона повышенного порядка точности для задачи Коши для уравнения переноса. Результаты работ важны как для развития математической теории, так и для приложений.