Спектральный анализ актуальных моделей самосопряженных и несамосопряженных операторов. Приложения к теории рассеяния, моделированию метаматериалов и фазовых переходов (заключительный)

На базе тонкой периодической сети с включением магнитного потенциала проведено детальное исследование модели, в которой путем управления магнитным полем эффективный оператор может оказаться дифференциальным оператором четвертого порядка. В ситуации моделей, описываемых дифференциальными операторами в частных производных, проведено исследование переходных режимов в двух моделях типа двойной пористости. Получены явные формулы для эффективного дисперсионного соотношения среды и вычислен оператор предельной среды с точной оценкой погрешности. Разработан новый метод анализа операторов Лапласа с краевым условием Неймана на тонких структурах, сходящихся (геометрически) к метрическим графам в пределе малого параметра. Получена асимптотика в топологии нормы разности резольвент для оператора Лапласа тонкой структуры и показана оптимальность полученной оценки остатка. В рамках стохастической гомогенизации высокого контраста рассмотрена одномерная модель типа модели случайных блужданий. Показано, что в окрестности левого края (абсолютно непрерывного) спектра периодической модели имеет место локализация андерсоновского типа. Исследованы задачи спектрального анализа скалярных и матричных операторов Якоби со степенным ростом параметров Якоби, в особенности задача о спектральном фазовом переходе. Получена явная формула Вейля-Титчмарша для спектральной плотности матриц Якоби с неграниченными весами в критическом случае. Найдены оценки, обобщающие известные оценки Комба-Томаса для спектрального параметра, вещественная часть которого лежит в лакуне абсолютно непрерывного спектра, на случай блочных матриц Якоби. Исследована локальная кратность спектра самосопряженных операторов Шредингера на звездных графах с конечным числом ребер конечной или бесконечной длины и условием склейки в общей вершине вида Au(0)+Bu'(0)=0, где A и B -матрицы. Кратность спектра описывается в терминах кратности спектра ортогональной суммы невзаимодействующих операторов Шредингера на ребрах с граничным условием Дирихле. Поведение кратности сингулярного спектра зависит от соотношения локальной кратности спектра невозмущенного оператора и ранга возмущения, совпадающего с рангом матрицы B. Дано функциональное описание гильбертовых пространств с вопроизводящим ядром на вещественной оси, обладающих свойством деления. На основании этого описания указана параметризация широкого класса квазиинвариантных детерминантных точечных процессов, содержащего все известные по приложениям процессы такого типа (синус-процесс, Гамма-процесс, процессы Эйри и Бесселя, их дискретные аналоги и т. д.). Исследована возможная связь проектора Бергмана и соответствующих операторов Теплица для общих эллиптических операторов второго порядка, с одной стороны, и операторов типа потенциала на границе области, с другой. Обнаружено, что такая связь может быть установлена на основе представления проектора Бергмана через самопряженное расширение Крейна. Получены оценки и асимптотики спектра псевдодифференциальных операторов типа Бирмана-Швингера, содержащих сингулярные меры. Результаты позволили дать оценки и асимптотики для важных операторов типа потенциала на негладких, например, Липшицевых поверхностях произвольной коразмерности. Получены оценки типа Либа-Тирринга для операторов Шредингера с сильно сингулярными потенциалами, важные во многих задачах математической физики. Были исследованы спектральные свойства операторов теории потенциала в ситуациях, когда эти операторы не являются компактными. Для оператора Неймана-Пуанкаре трехмерной теории упругости была найдена асимптотика собственных значений, стремящихся к трем точкам существенного спектра. Разработан новый подход к исследованию дискретного спектра операторов нулевого порядка в ситуации, когда существенный спектр заполняет интервал вещественной оси. Разработанный метод позволил найти асимптотику спектра оператора Неймана-Пуанкаре для задачи теории упругости в теле с неоднородным заполнением.