Теория и методы исследования эволюционных уравнений и управляемых систем с их приложениями

Целью НИР является изучение качественных свойств, построение численных ме-тодов решения, а также развитие методов теории оптимального управления для следующих классов динамических систем: эволюционные включения с максимально монотонными операторами, интегро-дифференциальные, дифференциально-алгебраические, функционально-дифференциальные, дифференциальные уравнения в пространствах мер, импульсные системы, а также вырожденные системы с дискретным временем, называемые в литературе также дискретными дескрипторными системами. В ходе выполнения этапа НИР 2024 г. в сепарабельном гильбертовом пространстве рассмотрено специальное эволюционное включение, для которого доказано существование решений, установлена плотность (теорема о релаксации) множества решений, а так-же приведены необходимые и достаточные условия замкнутости множества решений в случае, когда значения возмущения являются замкнутыми невыпуклыми множествами. Рассмотрен процесс выметания с тройным возмущением, для которого доказано существование решения. В гильбертовом пространстве доказано существование абсолютно непрерывного решения одного дифференциального включения. Для нелинейных дискретных дескрипторных систем получены достаточные условия устойчивости по линейному приближению в предположениях приводимости и правильности соответствующей части системы первого приближения. Доказана теорема о локальной управляемости по состоянию. В линейном случае получены критерии управляемости по состоянию и по выходу на конечном горизонте, найдены условия робастной управляемости, а также приводимости и правильности. Для дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) с нелинейностью в виде гистерезиса (моделируемого процессом выметания) получены необходимые и достаточные условия управляемости. Для нестационарных ДАУ с параметрической неопределенностью получены достаточные условия робастной полной и R-управляемости. Для некоторого класса многомерных дифференциально-алгебраических систем уравнений первого порядка разработан алгоритм численного решения. Для выделенного класса систем интегральных уравнений с тождественно вырожденной главной частью предложен и обоснован численный метод решения первого порядка. Проанализирован один из вариантов коллокационно-вариационного подхода для численного реше-ния ДАУ с сингулярными точками. Предложен новый способ формализации особых точек вырожденных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ), который является обобщением понятия левого регуляризирующего оператора (ЛРО). Предложен и развит подход перенесения основных результатов и методов общей теории обыкновенных диф-ференциальных уравнений (ОДУ) с разрывной частью на функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) с разрывной правой частью с использованием специального класса инвариантно дифференцируемых функционалов при описании многообразий точек разрыва и скользящих режимов систем с последействием. Для задач оптимального управления с терминальными ограничениями получены позиционные усиления качественных и конструктивных методов решения, усиливающие позиционный принцип минимума, методы Кротова и Понтрягина. Представлены элементы теории локального экстремума в задаче оптимального управления со свободным правым концом и, вообще говоря, неопределенной начальной позицией траекторий на осно-ве точных формул приращения (вариаций бесконечного порядка) целевого функционала. Для задачи оптимального управления процессом выметания, описанного дифференциальным включением с мерой, получены условия существования и единственности решения. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности для нелинейных задач оптимального управления с разрывными траекториями и управлениями, заданными векторными борелевскими мерами. Разработаны численные методы решения невыпуклых задач оптимального управления, в том числе для систем с точечным и распределенным запаздыванием, основанные на криволинейном варьировании управления с использованием технологий параллельного программирования и построении аппроксимации множества достижимости.