Теория дифференциальных уравнений в частных производных и её приложения в задачах математической физики

Цели и задачи научных исследований в отчетном периоде состояли в получении новых фундаментальных результатов в теории уравнений в частных производных, в том числе моделей гидродинамического типа, эллиптических и параболических уравнений и систем, задач со свободными границами для различных моделей математической физики, спектральной теории самосопряженных операторов, численных алгоритмов решения уравнений в частных производных. В рамках проведенных исследований установлены новые фундаментальные результаты по таким направлениям как теория регулярности для уравнений в частных производных и задачи математической гидродинамики, задачи со свободными границами, спектральные асимптотики для интегро-дифференциальных операторов, вариационные задачи и методы теории оптимизации, законы сохранения и гиперболические системы, оценки отклонений от точного решения для стационарных и эволюционных моделей реакции-диффузии-конвекции, Изучена векторная задача для неоднородного ультрагиперболического уравнения в евклидовом пространстве. Исследован вопрос разрешимости задачи в случае, когда решение задается своей асимптотикой на бесконечности. Продолжено развитие абстрактного метода граничного управления и построение функциональных моделей симметричных положительно определенных операторов. Разрабатывался метод треугольной факторизации для построения таких моделей. Изучена задача электроимпедансной томографии поверхностей (ЭИТ); получены локальные оценки устойчивости решений. Исследован спектр C*-алгербы гармонических эйконалов, ассоциированной с ДН-оператором единичного круга. Исследовалась задача управления для трехмерной динамической акустической системы, обратная задача для этой системы и волновая модель симметрических операторов и динамических систем с граничным управлением, где планировалось связать модель с треугольной факторизацией операторов. Исследовался вопрос о связях между гиперболическими и параболическими обратными одномерными дискретными задачами, вопрос об обратной динамической задаче для системы переноса первого порядка, вопрос об обратной динамической задаче для полубесконечной матрицы Якоби и о связанных пространствах аналитических функций. Построены и изучены асимптотические решения дисперсионного уравнения для геоакустического волновода мелкого моря, состоящего из однородного неограниченного водного слоя и донного полупространства Эйри. Для топографического волновода в виде клиновидного выступа над упругим полупространством расширена область существования волноводной моды в зависимости от угла раскрытия и допустимых значений коэффициента Пуассона. Отчет содержит описание результатов новых исследований по вышеуказанным направлениям. Все задачи, поставленные на пятый год проекта, выполнены. Было опубликовано 25 статей в журналах, индексируемых в базе данных Scopus.