Исследование краевых задач для уравнений с операторами обобщенного дробного дифференцирования, их применение к математическому моделированию физических и социально-экономических процессов

Объектом исследования являются обыкновенные и в частных производных дифференциальные уравнения и системы, содержащие операторы дробного и распределенного дифференцирования. Цель работы — разработка и развитие методов решения начальных и краевых задач для уравнений с операторами дробного и распределенного дифференцирования. Методы исследования: методы интегральных преобразований, методы функционального анализа, метод функции Грина, методы теории специальных функций, и др. Полученные результаты. Развиты методы решения начальных, локальных и нелокальных краевых задач для обыкновенных и в частных производных линейных уравнений и систем, содержащих операторы дробного и распределенного интегро-дифференцирования. Для интегро-дифференциальных операторов распределенного порядка построены обратные, доказаны формулы обращения и формулы Ньютона–Лейбница. Решена задача Коши для дифференциального оператора распределенного порядка, ассоциированного со знакопеременной борелевской мерой. Исследовано обобщенное преобразование Станковича, в терминах которого предложен метод построения решений начальных задач для эволюционных уравнений распределенного порядка. Решены краевые задачи для классов обыкновенных дифференциальных уравнений, включая уравнения типа Барретта, системы уравнений дробного порядка, уравнения второго порядка с оператором А.М. Нахушева, уравнения с запаздывающим аргументом. Для классов уравнений в частных производных, включая уравнения и системы порядка не выше первого, дробные диффузионно-волновые и телеграфные уравнения, уравнения с оператором Бесселя, обобщенное уравнение Лапласа, дифференциально-разностные уравнения, исследованы вопросы корректности, построены решения, найдены фундаментальные решения и функции Грина широкого класса локальных и нелокальных начально-краевых задач. Рассмотрены приложения в теоретической модели дифракции рентгеновских лучей и в моделях популяционной динамики. Полученные результаты вносят весомый вклад в развитие теории дифференциальных дробного порядка, и будут востребованы при решении задач математического моделирования.