Краевые задачи и задачи управления для основных и смешанного типов уравнений и их применение к исследованию систем с распределёнными параметрами

Объектами исследования являются: уравнения смешанного, параболического и гиперболического типа второго и третьего порядков, нелокальные гиперболические уравнения, эллиптические системы второго порядка, асимптотики собственных чисел действительной компоненты оператора с дискретным спектром. Цель работы: Доказательство корректной разрешимости поставленных локальных и нелокальных краевых задач и задач сопряжения для смешанных параболо—гиперболических уравнений, строго и слабо гиперболических уравнений, а также задач управления для нелокальных гиперболических и диффузионных уравнений, задачи Дирихле для эллиптических систем второго порядка и исследование порядка суммируемости спектральных разложений для ядерных операторов. Методы исследования: метод Трикоми, метод интегральных уравнений и преобразований, метод распространяющихся волн, метод функции Грина, метод априорных оценок, принцип экстремума, метод Абеля-Лидского, методы функционального анализа. Развиты методы исследования локальных и нелокальных краевых и внутренне-краевых задач со смещением для классов смешанных, строго и слабо нелокальных гиперболических уравнений второго и третьего порядков. Поставлена и решена новая задача оптимального управления для уравнения диффузии. Для эллиптических систем второго порядка получен аналог формулы Пуассона. Показана эквивалентность асимптотики собственных чисел действительной компоненты оператора с дискретным спектром и сингулярных чисел резольвенты. Наряду с тем, что полученные результаты имеют теоретическую значимость, они послужат заделом для успешного выполнения новой темы: “Краевые задачи и задачи оптимального управления для локальных и нелокальных уравнений математической физики”, заявленной отделом на 2025–2027 годы. Практическая значимость и актуальность темы исследований обусловлена возможностью эффективного применения рассмотренных уравнений при моделировании широкого класса динамических систем, а также использования нелокальных уравнений как метода постановки и исследования новых краевых задач для дифференциальных уравнений.