Коэффициенты переноса в уравнениях тепломассопереноса на основе описания микропроцессов в многокомпонентных средах

Исследование свойств газов и жидкостей является традиционной проблемой физики вещества. В настоящее время наблюдается повышенный интерес к данной проблеме в связи с развитием высокоэффективной и ресурсосберегающей энергетики и наукоемких технологий создания высокоэффективных систем генерации, распределения и хранения энергии. В частности, свойства технических газов очень важны при создании новых перспективных наноматериалов и нанопокрытий. Отдельные свойства газов хорошо изучены экспериментально в определенных диапазонах температур и давлений и описаны в литературе [D. Resnick. Nanoimprint lithography, L. R. Fokin, A. N. Kalashniko. The transport properties of an N2-H2 mixture of rarefied gases in the EPIDIF database. И т.д.]. Одним из способов получения информации о реальных свойствах газовой среды является молекулярно-динамическое моделирование [D.C. Rapaport. The Art of Molecular Dynamics Simulations]. С его помощью можно определять необходимые свойства газов и их смесей в широком диапазоне температур и давлений. Однако, методы молекулярной динамики требуют большого объёма решений, что может быть ограничено ресурсами вычислительной техники. В тоже время имеются свойства, которые можно предсказать лишь теоретически на основе кинетической теории газов [J.O. Hirschfelder, C.F. Curtiss, R.B. Bird. Molecular Theory of Gases and Liquids]. В связи с этим для решения проблемы определения коэффициентов переноса в макроуравнениях тепломассопереноса требуются обоснованные вычислительные технологии, опирающиеся на молекулярно-кинетическую теорию. Отметим, что такой подход позволяет установить квази-взаимосвязь между макро-уравнениями Навье-Стокса, Барнетта и кинетическим уравнением Больцмана. Правая столкновительная часть уравнения Больцмана содержит кратные несобственные интегралы, значения которых используются в вычислительном алгоритме метода Чепмена-Энсокога определения коэффициентов переноса. В подынтегральное выражение одного из таких интегралов входит функция, зависящая от межмолекулярного потенциала. То есть эти интегралы учитывают всю динамику столкновения молекул и, следовательно, закон действия межмолекулярных сил. В данной работе была построена математическая модель комбинированного потенциала межмолекулярного взаимодействия в инертных и полярных газожидкостных смесях. Создание потенциала было осуществлено путём суперпозиции приведенного потенциала взаимодействия молекул, разработанного авторами ранее [Anisimova I.V., Ignatyev V.N. Computational and computer technologies for determination of transfer coefficients in models of multicomponent mixtures], и добавки Штокмайера. Приведенный межмолекулярный потенциал представляет собой однопараметрический функционал (2(n+3),6) который можно использовать для описания взаимодействия молекул, как в бинарной, так и многокомпонентной газовой среде. В отличие от других данная модель учитывает упругие и геометрические параметры молекул при их взаимодействии. Хотя потенциал (2(n+3),6) получен для описания взаимодействия в бинарной среде, допустимо его обобщение для многокомпонентной среды. Это возможно осуществить исходя из аппроксимации многокомпонентной среды «базовой» бинарной средой, состоящей из молекул диаметром d1, имеющих максимальную мольную концентрацию, и молекул с осредненным диаметром d2 оставшейся части смеси. Затем полученное выражение для потенциала «базовой» бинарной среды было перенесено на многокомпонентную газовую среду с помощью функционального регуляризатора. Комбинированная модель потенциала подходит для полярных и неполярных смесей, если в добавке Штокмайера дипольные моменты будут равны нулю. Согласно кинетической теории газов и жидкостей при интегрировании уравнения Больцмана методом Чепмена-Энскога, коэффициенты переноса выражаются через интегральные скобки полиномов Сонина, которые являются линейными комбинациями интегралов столкновения молекул. Данные интегралы являются трехкратными параметрическими интегралами с осциллирующей подынтегральной функцией. Их вычисление требует использования эффективных математически обоснованных алгоритмов, включая элементы распределенных вычислений. Кроме того, данные интегралы содержат ключевую функцию из кинетической теории - функцию угла рассеяния взаимодействующих молекул. Она зависит от межмолекулярного потенциала и представляется через несобственный интеграл, в котором нижний предел интегрирования определяется как точка максимального сближения молекул при их взаимодействии. Согласно молекулярно-кинетической теории, эта точка определяется как значение первого положительного корня нелинейного уравнения, описывающего динамику столкновения двух молекул. В ходе работы было рассмотрено нелинейное уравнение с параметрами, которому удовлетворяла координата точки поворота угла рассеяния. Минимальный положительный корень был найден методом сжатых операторов в метрическом пространстве с учетом условий на параметры. Были выполнены тестовые численные расчеты точки максимального сближения молекул полярной среды. В работе был проведен аналитический анализ подынтегрального выражения функции угла рассеяния молекул, который показал, что несобственный интеграл является равномерно сходящимся на множестве R с учетом условий на параметры. Были выполнены тестовые численные расчеты функции угла рассеяния полярной среды. Для этого использовались квадратуры с алгоритмом построения адаптивных узлов интегрирования в подобластях наибольшего роста производной у подынтегральной функции. В процессе работы были выполнены подготовительные работы использования распределенных вычислений по расчету коэффициентов переноса. Были сформированы модульные блоки по расчёту точки максимального сближения молекул, функции угла рассеяния, транспортного сечения, интегралы столкновения, коэффициентов переноса. Для программной части использовались платформа Jupiter nootbook, язык программирования и библиотеки Python, NumPy, Matplotlib, библиотека для вычисления на GPU PyCuda. Разработка различных технических устройств энергетики, использующих в качестве рабочего тела жидкость или газ, оптимизация режимов их работы вызывает необходимость численного моделирования движения этой среды в соответствующих условиях. При этом остаются нерешенные проблемы: одна из них – создание математически обоснованных и эффективных вычислительных технологий решения возникающих при этом задач тепломассопереноса. В данном проекте был разработан и адаптирован к прикладным задачам конечноразностный метод численного моделирования задач тепломассопереноса, который позволяет сократить объёмы вычислений, а следовательно, и время вычислений. Краевые задачи моделей содержат дифференциальные уравнения с малым параметром. Классические разностные схемы в случае равномерной сетки плохо описывают решение ввиду того, что имеют апроксимационную вязкость, соизмеримую с величиной шага сетки. Порядок аппроксимации на трехточечном шаблоне был увеличен до четвертого за счет первого дифференциального приближения и введения регуляризатора. На данном этапе метод был апробирован на тестовой модели гемодинамики, имеющей аналитической решение.