Развитие современных методов математической физики: интегрируемые системы и формализм задачи Римана-Гильберта, спектральный анализ дифференциальных и интегральных операторов, задачи рассеяния и их приложения (заключительный)

Продолжено изучение ранее найденного решения системы Калоджеро – Пенлеве, которое, как ожидается ,описывает распределение Трэйси - Видома с бета = 6. Проблема была сведена к нахождению точного решения системы Калоджеро-Пенлеве, которое обобщает точное решение второго уравнения Пенлеве, выражающееся в терминах функции Эйри. Центральным конкретным результатом в этой части проекта была формулировка гипотезы относительно значений данных задачи Римана отвечающих упомянутому аналогу второго трансцендента Пенлеве. Было проведено строгое вычисление главного члена асимптотики по большому времени решения задачи Коши для уравнения Ландау-Лифшица. Он был явно дан в терминах соответствующих данных задачи Римана-Гильберта. Проект является первым примером успешного асимптотического анализа задачи Римана-Гильберта, поставленной на алгебраической кривой ненулевого рода. Статья, содержащая этот результат, была отправлена ​​для публикации в Nonlinearity. Препринт размещен на arXiv: https://arxiv.org/abs/2405.17662 Продолжено изучение асимптотических свойств решений нелинейного цилиндрического уравнения Кортевега - де Фриза при больших и малых временах. Было полностью завершено распространение нелинейный метода перевала Дэйфта - Жоу на задачу Римана отвечающую цилиндрическому уравнению Кортевега - де Фриза. Метод был применен для вычисления старшего члена асимптотики решения соответствующей задачи Коши при больших временах. Статья, описывающая эту асимптотику представлена к публикации. Кроме того, достигнут значительный прогресс в изучении асимптотики того же решения цилиндрического уравнения КдФ при малых временах в областях где решение либо осциллирует либо экспоненциально убывает. Получены явные формулы, связывающие параметры решения при малых и больших временах, то есть, явным образом описано нелинейное рассеяние в модели цилиндрического уравнения КдФ, охватывающее упомянутые области пространства - времени. Продолжено изучение ТТ*- уравнения Чекотти и Вафа, которое играет важную роль в супер - симметричной кантовой теории поля. Конечная цель этого изучения - полное описание асимптотических решений в нуле и бесконечности и соответствующих формул связи. В отчетный период был рассмотрен слегка модифицированный вариант упомянутого уравнения. Это модификация упрощает анализ и одновременно, в отличие от ранее анализированной модификации ТТ* модели двумерной цепочкой Тода, допускает особые решения. В первом нетривиальном случае, матричной размерности 3х3, было осуществлено полное описание особых на бесконечности и гладких в нуле решений. Явно вычислены соответствующие формулы связи и распределение (логарифмических) особенностей в окрестности бесконечности. Статья представляющая эти результаты готовиться к печати. Изучена разрешимость задачи Римана-Гильберта для оператора Шредингера, с потенциалом в виде суммы кулоновского потенциала и быстро убывающей функции. Изучались волноводы с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность, описываемые краевыми задачами, коэффициенты которых стабилизируются на бесконечности со степенной скоростью. Рассматриваемый класс задач включает краевые задачи для самосопряженных эллиптических систем первого порядка, уравнения акустики и системы Максвелла. Разработан подход к изучению асимптотики волн, учитывающий самосопряженность рассматриваемой задачи, что позволило получить более точную и информативную асимптотику волн (по сравнению с предыдущими этапами проекта). Были построены приходящие и уходящие волны. Было показано, что волны, собственные функции непрерывного спектра, матрица рассеяния и решение задачи с естественными условиями излучения аналитически зависят от спектрального параметра на интервале непрерывного спектра, отделенном от порогов. В линейном приближении гравитационных поверхностных волн малой амплитуды предложены новые интегральные представления для решения классической задачи о набегании из бесконечности поверхностной волны на берег под углом к береговой линии. Изучены формальные коротковолновые асимптотические решения, описывающие собственные акустические колебания в сосуде с твёрдым дном, заполненным акустической средой и покрытым тонкой эластичной мембраной. Построены формальные асимптотические решения задачи для линейных волн на воде в ограниченном бассейне. Решения имеют вид асимптотических квази-мод и используются для описания стоячих волн на воде, локализованных вблизи береговой линии. Установлена связь между решениями функционального разностного уравнения шестого порядка и решениями уравнений Малюжинца. Получено квазиклассическое условие квантования разностного уравнения Шредингера с потенциалом определенного вида. Найдены асимптотики собственных функций при малом параметре сдвига, построена резольвента при малом параметре сдвига. Разрабатывалась теория рассеяния для оператора Лапласа в полупространстве с граничными условиями типа Робина на граничной плоскости. В частности, показано, что в этой задаче, помимо обычных пространственных волн, живущих в конусах и описываемых стандартными волновыми операторами, могут возникать поверхностные волны. Они локализованы в параболических окрестностях границы. Изучена C*-алгебра А(Г,G), порожденная одномерными сингулярными интегральными операторами, где Г — сложный кусочно-гладкий контур, состоящий из конечного числа ляпуновских ограниченных и неограниченных дуг. Коэффициенты сингулярных интегральных операторов допускают разрывы первого рода на контуре Г и стабилизируются к почти-периодическим функциям на каждой дуге, уходящей в бесконечность. Частоты почти-периодических функций принадлежат некоторой фиксированной подгруппе G группы вещественных чисел. Перечислены все примитивные идеалы исходной алгебры А(Г,G) и предъявлены соответствующие неприводимые представления, ядра которых совпадают с этими идеалами. Рассмотрена задача некасательной дифракции на контуре, гладком всюду, за исключением одной точки, при переходе через которую касательная к контуру меняется непрерывно, а кривизна терпит разрыв второго рода. Построена формула для расходящейся из точки негладкости контура дифрагированной волны. Ее диаграмма направленности имеет сингулярность на предельном — геометрически отраженном в точке негладкости — луче. Влияние негладкости контура на волновое поле в узкой окрестности предельного луча на малых расстояниях описано в терминах функции параболического цилиндра. На умеренных расстояниях поле аппроксимируется специальной функцией, напоминающей интеграл Факсена (Faxén integral)