Дифференциальные уравнения в частных производных и их применение в задачах математической физики

Исследование глобальной однозначной разрешимости и гладкости решений трехмерной системы уравнений Навье-Стокса. Развитие теории локальной регулярности для уравнений Навье-Стокса, в частности, построение теории античных решений и доказательство теорем лиувиллевского типа для них. Исследование разрешимости начально-краевых задач для различных уравнений математической гидродинамики и изучение регулярности их решений. Разрешимость задач со свободными границами для уравнений вязкой жидкости. Исследование экстремалей вариационных задач, существование и качественные свойства решений соответствующих этим задачам полулиненейных и квазилинейных эллиптических уравнений. Спектральная теория для операторов Шредингера и Максвелла. Изучение собственных функций задачи рассеяния для трехмерного оператора Шредингера. Исследование сходимости численных аппроксимаций и получение апостериорных оценок точности для различных краевых и начально краевых задач. Получение вычисляемых оценок констант в различных функциональных неравенствах.