Разработка и исследование надежных разностных схем и многосеточных алгоритмов для сингулярно возмущенных задач

Объектом исследований являются сингулярно возмущенные краевые и начально-краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных эллиптического и параболического типов, старшие производные которых содержат малый возмущающий параметр. Решения таких задач имеют локальные особенности типа пограничных и/или внутренних слоев – на узких подобластях решения задач резко изменяются; производные решения в слое неограниченно растут, когда параметр возмущения стремится к нулю. Такие задачи часто возникают в теоретических исследованиях и приложениях. Цель исследований проекта – разработка и исследование надежных разностных схем и многосеточных методов для решения представительных классов сингулярно возмущенных задач. Под надежными разностными схемами понимаются как хорошо известные равномерно по параметру сходящиеся специальные схемы на сгущающихся сетках и схемы метода декомпозиции решения, получающие дальнейшее развитие в настоящем проекте, так и недавно появившиеся в исследованиях нашего коллектива компьютерные разностные схемы. Компьютерные схемы – это стандартные разностные схемы на равномерных сетках при наличии возмущений, в частности компьютерных. Разрабатываемые схемы с контролируемыми (компьютерными) возмущениями, зависящими от возмущающего параметра в уравнении и шага сетки поперек слоя, обеспечивают требуемую точность численного решения, а следовательно, могут использоваться в практических вычислениях. Проектом предусматривается систематическое исследование надежных разностных схем, как для известных классов задач, так и новых, мало изученных; в том числе для сингулярно возмущенных краевых задач с условием Неймана. В ходе выполнения проекта предполагается: исследование проблем, возникающих при численном решении сингулярно возмущенных задач с использованием стандартной разностной схемы – схемы на равномерной сетке на основе монотонных сеточных аппроксимаций в случае граничных условий Дирихле и Неймана;разработка и исследование разностных схем, сходящихся независимо от значений возмущающего параметра, т.е. равномерно по параметру, в случае краевых задач с условием Неймана;разработка и исследование улучшенных схем на основе схемы Самарского для сингулярно возмущенных задач реакции-диффузии и конвекции-диффузии.Проект продолжает разработку и исследование надежных, равномерно по параметру сходящихся разностных схем высокого порядка точности на основе метода декомпозиции сеточного решения и техники экстраполяции Ричардсона на вложенных сетках для сингулярно возмущенных уравнений конвекции-диффузии и реакции-диффузии, соответственно. Для строящихся схем будут исследоваться их обусловленность и устойчивость к возмущениям данных и/или компьютерным возмущениям. Будут продолжены исследования эффективных надежных схем декомпозиции области для последовательных и параллельных вычислений. Предполагается разработать многосеточные алгоритмы для линейных эллиптических задач с пограничными слоями, а также исследовать применение экстраполяции Ричардсона в многосеточных методах для повышения точности разностных схем.