Высокоточное моделирование нелинейных динамических систем на основе геометрических методов интегрирования

Объект исследования - методы численного интегрирования; Цель - разработка высокоточных и высокопроизводительных методов численного моделирования и анализанелинейных динамических систем, включая системы с хаотическим поведением и фазовыми переходами; Предлагаемые методы и подходы: 1. Численная устойчивость, достаточная для сохранения хаотических режимов колебаний, но не переходящая в L- или A-устойчивость во избежание перехода к периодическим колебаниям, деформации фазового пространства, потери энтропийных, диффузионных и иных негеометрических свойств решения. 2. Симметричность для сохранения геометрических и энергетических свойств прототипа: объема фазового пространства, общей энергии системы, первых интегралов и др. 3. Высокая вычислительная эффективность для использования в конечно-разностных схемах высокого порядка точности, приложениях реального времени, при построении многомерных динамических карт (параметрических карт режимов) высокого разрешения.4. Минимальное число арифметических операций и малая алгебраическая сложность алгоритма для минимизации влияния машинного шума и компактной реализации во встраиваемых приложениях.5. Встроенный механизм контроля локальной ошибки усеченияПредполагаемые результаты:1.Математическое описание и алгоритмы одношаговых симметричных композиционных, фрактальных и экстраполяционных схем численного решения нелинейных дифференциальных уравнений различного порядка точности на основе полуявных опорных Д-методов, а также оценка их вычислительной эффективности. 2. Новые способы адаптивного управления шагом интегрирования композиционных и экстраполяционных методов интегрирования, основанные на оценке локальной погрешности путем решений, полученных полуявными методами с различной матрицей коммутаций. 3. Математическое описание и алгоритмы многошаговых полуявных методов численного решения дифференциальных уравнений. 4. Математическое описание и алгоритмы многошаговых экстраполяционных методов численного решения дифференциальных уравнений. 5. Критерии оценки численных алгоритмов интегрирования при моделировании нелинейных динамических систем, включая новые метрики оценки вычислительной эффективности, а также количественная оценка сохранения свойств непрерывного прототипа в дискретной модели. 6. Методика построения функции и областей устойчивости для одношаговых полуявных Д-методов и решателей дифференциальных уравнений на их основе. 7. Методика оценки устойчивости многошаговых полуявных геометрических методов. 8. Новые знания о поведении и динамике явных, неявных и полуявных конечно-разностных моделей нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих различными типами динамики, а также оценка влияния дискретного оператора на динамику исполняемых моделей динамических систем с различными типами нелинейностей. 9. Библиотеку тестовых нелинейных систем с различными фазовыми и фрактальными свойствами, охватывающую известные и перспективные классы математических моделей, а также математическое и алгоритмическое описание их дискретных моделей, синтезированных при помощи разных дискретных операторов. 10. Методы оценки динамики объема фазового пространства, энтропии, фрактальной сложности и других свойств дискретных моделей хаотических динамических систем, использующие особые свойства предлагаемых симметричных численных методов, а также методика и алгоритмы экспериментальной оценки производительности, устойчивости и сходимости таких методов.