-Дискретные интегрируемые системы: алгебраические структуры, динамика, комбинаторика и приложения.

Теория интегрируемых систем оказывается связующей областью между фундаментальной математикой, математической физикой, дискретной математикой и многими другими. Данное положение оказывается исключительно плодотворным как в части значительных прикладных, так и фундаментальных математических результатов. Одними из наиболее ярких примеров последних являются: квантовые топологические инварианты узлов и их высших аналогов, инварианты Дональдсона и Зайберга-Виттена для гладких структур на 4-мерных многообразиях, инварианты Громова-Виттена для симплектических многообразий. Одним из ярких приложений интегрируемыхмоделей в физике является точное решение двумерной системы Изинга, которая продемонстрировала принцип универсальности критических экспонент и позволила качественно описать физику фазовых переходов и механизмспонтанной намагниченности. В предлагаемом проекте основной акцент делается на структурных вопросах теории интегрируемых систем и приложениях в современных вопросах нелинейной динамики, дискретных системах, некоммутативных интегрируемых системах, а также в областях фробениусовых многообразий, комбинаторных геометрических инвариантов, искусственных нейронных сетей и нечеткой динамики. В частности, мы рассчитываем получить эффективные методы прогнозирования моделей нейронных сетей и других нечетких систем. Основные ожидаемые результаты группируются по направлениям: Построение новых решений уравнений Янга-Бакстера и тетраэдров, связанных с алгебраическими структурами квандлов, биквандлов, циклических множеств и брэйсов 2. Разработка методов некоммутативных дискретных интегрируемых систем, в том числе в грассмановом случае. 3. Построение новых решений нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с помощью преобразований Дарбу-Бэклунда. 4.Обобщение конструкции Хитчина конечномерных интегрируемых систем на случай пространств модулей флагов и последовательностей расслоений. 5. Разработка аппарата квази-детерминантов в задаче построения квантовых интегрируемых систем типа Хитчина. 6. Исследование аналитических свойств и дискретных потоков на статсуммах моделей искусственных нейронных сетей типа Хопфилда и Больцмана. 7. Обобщение конструкции DR иерархий для F-когомологических теорий поля и построение рекурсии, позволяющейвосстановить все потоки иерархии по одному выделенному потоку. 8. Исследование общей задачи поиска нелинейных иерархий для произвольной производящей функции геометрических или комбинаторных инвариантов, включая инварианты Татта-Гротендика графов, вложенных графов и матроидов. 9. Обобщение интегрируемых структур на уравнения в нечетких системах, включая разработку методов решения нечетких нелинейных дифференциальных и разностных уравнений.